Классические методы математической физики - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

˙ε = ε+iσ/ωε
0
E H
∆E + k
2
E = −iωµ
0
µJ
ct
,
∆H + k
2
H = −rotJ
ct
.
k = ω
√
˙εε
0
µµ
0
e
−iωt
t
˙ε
k
div D = ρ
e
, rotE = 0,
div B = 0, rotH = J.
B = 0 H = 0 J = 0
(E, D, ρ
e
)
E D ρ
e
R
3
R
3
D =
ε
0
εE ε = E = 0
Âåëè÷èíà ε̇ = ε+iσ/ωε0 â (7.24) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòüþ. Ïðèìåíÿÿ, êàê è âûøå, ê óðàâíåíèÿì â (7.24) îïåðàòîð
rot, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå äâà âåêòîðíûõ óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ
E è H:
                        ∆E + k 2 E = −iωµ0 µJct ,                (7.25)
                          ∆H + k 2 H = −rotJct .                    (7.26)
                                   √
Çäåñü êîìïëåêñíàÿ âåëè÷èíà k = ω ε̇ε0 µµ0 íîñèò íàçâàíèå êîìïëåêñíîãî
âîëíîâîãî ÷èñëà, à êàæäîå èç óðàâíåíèé (7.25), (7.26) íàçûâàåòñÿ âåêòîð-
íûì âîëíîâûì óðàâíåíèåì åëüìãîëüöà.
    Ïîäñòàâëÿÿ äàëåå (7.23) â îäíî èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (7.20), (7.21) è
ñîêðàùàÿ íà e−iωt (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïðàâûå ÷àñòè â (7.20), (7.21) òàê-
æå ãàðìîíè÷åñêè çàâèñÿò îò âðåìåíè t), ïðèõîäèì ê ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
äëÿ âåêòîðíûõ àìïëèòóä, êîòîðûå îðìàëüíî ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþ-
ùèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè â (7.20), (7.21). Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäû
âåêòîðîâ íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ
àêóñòè÷åñêîãî ïîëÿ, óäîâëåòâîðÿþò âåêòîðíûì óðàâíåíèÿì åëüìãîëüöà
(7.25), (7.26) è âåêòîðíûì êðàåâûì óñëîâèÿì, îðìàëüíî ñîâïàäàþùèì ñ
âûïèñàííûìè ðàíåå óñëîâèÿìè (7.20), (7.21). Êðîìå òîãî, ïàðàìåòðû ε̇ è
k , âõîäÿùèå â óðàâíåíèÿ (7.24)(7.26) ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.
Ïîñëåäíåå îáúÿñíÿåòñÿ íàëè÷èåì ÿâëåíèÿ äèññèïàöèè ýëåêòðîìàãíèòíîé
ýíåðãèè â ïðîâîäÿùåé ñðåäå, âîçíèêàþùåé âñëåäñòâèå åå ïðîâîäèìîñòè.
  7.5. Ñòàòè÷åñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ. Ìîäåëü ýëåêòðîñòà-
òèêè. Ýëåêòðè÷åñêàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à.     Åùå îäèí âàæíûé ÷àñòíûé ñëó-
÷àé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ, íå çàâèñÿùèå îò âðåìåíè
è, ñëåäîâàòåëüíî, óäîâëåòâîðÿþùèå â ñèëó (7.1)(7.4) óðàâíåíèÿì
                         div D = ρe , rotE = 0,                     (7.27)
                          div B = 0, rotH = J.                      (7.28)
Åñëè, áîëåå òîãî, B = 0, H = 0 è J = 0, ò. å. ìàãíèòíîå ïîëå îòñóòñòâóåò,
òàê ÷òî óðàâíåíèÿ (7.28) àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿþòñÿ, òî çàäà÷à íàõîæ-
äåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ òðîéêè (E, D, ρe ),
ëèáî òîëüêî ïàðû âåêòîðîâ E è D, åñëè ïëîòíîñòü çàðÿäîâ ρe èçâåñòíà, èç
ñîîòíîøåíèé (7.27), íàçûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè ýëåêòðîñòàòèêè.
   Äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ýëåêòðîñòàòèêè íåîá-
õîäèìî çàäàòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ. îëü èõ ìîãóò èãðàòü êàê ìàòå-
ðèàëüíûå óðàâíåíèÿ, òàê è êðàåâûå óñëîâèÿ ëèáî óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ, à
òàêæå óñëîâèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè. àññìîòðèì íèæå äâà ñëó÷àÿ, îòâå÷àþ-
ùèå èñïîëüçîâàíèþ òåõ èëè èíûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé.
   1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ïðîñòðàíñòâî R3 çàïîëíåíî èäåàëüíîé äèýëåê-
òðè÷åñêîé ñðåäîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â R3 âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå D =
ε0εE ε = onst. Êàê óæå íåîäíîêðàòíî óêàçûâàëîñü, óðàâíåíèå rotE = 0

                                    77

Страницы