Классические методы математической физики - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

E, B
J
s
= 0
ρ
s
= 0
Γ Ω
Γ
1
E
ct
H
ct
Γ
1
E = E
ct
, H = H
ct
Γ
1
.
U E H J J
ct
U =
˜
U(x)e
−iωt
, E =
˜
E(x)e
−iωt
, H =
˜
H(x)e
−iωt
,
J =
˜
J(x)e
−iωt
, J
ct
=
˜
J
ct
(x)e
−iωt
.
˜
E,
˜
H,
˜
J,
˜
J
ct
ρ
e
= 0
rotE = iωµµ
0
H, rotH = −iω ˙εε
0
E + J
ct
.
òðóäíîñòü ïàäàåò íà ðåøåíèå ñîðìóëèðîâàííîé âûøå íà÷àëüíî-êðàåâîé
çàäà÷è äëÿ ïàðû (E, B). Î ìåòîäàõ è òðóäíîñòÿõ èññëåäîâàíèÿ ýòîé çà-
äà÷è, à òàêæå î äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ, îáåñïå÷èâàþùèõ åäèíñòâåííîñòü
ðåøåíèÿ ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â [59, ãë. 1℄, [60, ãë. 9℄.
   Èñïîëüçóÿ (7.20) è (7.21), íåòðóäíî âûâåñòè ÷àñòíûå îðìû ãðàíè÷íûõ
óñëîâèé äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà Js = 0 èëè
ρs = 0, è óêàçàòü èõ èçè÷åñêèé ñìûñë. Ìîæíî òàêæå ïåðåîðìóëèðîâàòü
âñå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ îòíîñèòåëüíî âåêòîðîâ íàïðÿæåííîñòåé ëèáî âåê-
òîðîâ èíäóêöèè, íî íà ýòèõ äåòàëÿõ ìû íå áóäåì çäåñü îñòàíàâëèâàòüñÿ,
îòñûëàÿ çàèíòåðåñîâàííîãî ÷èòàòåëÿ, íàïðèìåð, ê [38℄, [59, ãë. 1℄.
   Ïîä÷åðêíåì, îäíàêî, ÷òî ïîñêîëüêó óñëîâèÿ (7.20) è (7.21) ÿâëÿþòñÿ
ñëåäñòâèÿìè óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, òî, êàê è óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, îíè
èìåþò óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð, ò. å. ñïðàâåäëèâû äëÿ ëþáîãî ýëåêòðîìàã-
íèòíîãî ïîëÿ. Ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ èçëó÷åíèÿ è ðàñïðîñòðà-
íåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí íàðÿäó ñ óñëîâèÿìè (7.20), (7.21) èíîãäà
èñïîëüçóþò è òàê íàçûâàåìûå íåçàâèñèìûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, êîòîðûå
îáû÷íî âûðàæàþò âíåøíþþ ïðè÷èíó ñóùåñòâîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî
ïîëÿ. Òàê, íàïðèìåð, åñëè íà ãðàíèöå Γ îáëàñòè Ω èëè íåêîòîðîé åå ÷à-
ñòè Γ1 , äåéñòâóåò ñòîðîííåå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, îïèñûâàåìîå çàäàííû-
ìè óíêöèÿìè Ect è Hct , òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ îðìàëèçàöèÿ ýòîãî àêòà
ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó òðåáîâàíèþ, íàëàãàåìîìó íà ðåøåíèÿ óðàâíåíèé
Ìàêñâåëëà íà Γ1 :
                         E = Ect , H = Hct íà Γ1.                  (7.22)
Óðàâíåíèÿ (7.22) ïðè åñòåñòâåííîì óñëîâèè ñîâìåñòíîñòè ñ óíèâåðñàëüíû-
ìè óðàâíåíèÿìè (7.20), (7.21) èãðàþò â òàêîì ñëó÷àå ðîëü âíåøíèõ èñòî÷-
íèêîâ ñóùåñòâîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
   7.4. àðìîíè÷åñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ. Âàæíûé ÷àñòíûé
ñëó÷àé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãàðìîíè÷åñêèå ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ. Ëþ-
áóþ õàðàêòåðèñòèêó U òàêîãî ïîëÿ è, â ÷àñòíîñòè, âåêòîðû E, H, J è Jct
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
            U = Ũ(x)e−iωt, E = Ẽ(x)e−iωt, H = H̃(x)e−iωt,
                    J = J̃(x)e−iωt, Jct = J̃ct (x)e−iωt.           (7.23)
Çäåñü âåêòîðû Ẽ, H̃, J̃, J̃ct èìåþò ñìûñë êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ñîîòâåò-
ñòâåííî âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, âåêòîðà íàïðÿæåí-
íîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà è âåêòîðà ïëîòíîñòè ñòî-
ðîííèõ òîêîâ.
   Ïîäñòàâëÿÿ (7.23) â (7.3) è (7.4) è îïóñêàÿ â äàëüíåéøåì çíàê âîëíû
íàä àìïëèòóäàìè ïîëåé, ïðèõîäèì ñ ó÷åòîì (7.5) è â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
ρe = 0, ê ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä
                rotE = iωµµ0 H, rotH = −iω ε̇ε0 E + Jct .          (7.24)

                                    76

Страницы