Классические методы математической физики - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

σ > 0
σ σ → ∞
σ = 0
D = ε
0
εE ε = const
J = 0
B = µ
0
µH
µ = const
Ω
Ω E
2
= 0
D
2
= 0 H
2
= 0 B
2
= 0
Γ ≡ Γ
s
H = H
1
D = D
1
E = E
1
B = B
1
n × H = −J
s
, n ·D = −ρ
s
, n ×E = 0, n · B = 0 Γ.
J
s
ρ
s
Ω
ε = const µ = const ρ
e
E B
E B
E B E
B D H J
H D
J
s
ρ
s
    òåîðèè ýëåêòðîìàãíåòèçìà âàæíóþ ðîëü èãðàåò ðàçáèåíèå ðàçëè÷íûõ
ñðåä íà äâà òèïà: ïðîâîäíèêè è äèýëåêòðèêè. Ïîä ïðîâîäíèêîì ïðèíÿòî
ïîíèìàòü ëþáóþ ñðåäó (òâåðäóþ, æèäêóþ, ãàçîîáðàçíóþ), â êîòîðîé ñó-
ùåñòâóþò çàðÿäû, ñïîñîáíûå ïåðåìåùàòüñÿ (íà ìàêðîñêîïè÷åñêîì óðîâíå)
ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Îìè÷åñêèì ïðîâîäíèêîì íàçûâàþò
ñðåäó, â êîòîðîé çàêîí Îìà â (7.6) âûïîëíÿåòñÿ ñ êîíñòàíòîé σ > 0. Èäåàëü-
íûì ïðîâîäíèêîì íàçûâàþò ñðåäó ñ î÷åíü áîëüøèì çíà÷åíèåì êîýè-
öèåíòà ïðîâîäèìîñòè σ (σ → ∞). Òàêàÿ ñèòóàöèÿ ðåàëèçóåòñÿ, íàïðèìåð,
äëÿ ìåòàëëîâ, êîòîðûå ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü èäå-
àëüíûìè ïðîâîäíèêàìè. Âíóòðè èäåàëüíîãî ïðîâîäíèêà ýëåêòðîìàãíèòíîå
ïîëå ðàâíî íóëþ. Ìû òàêæå îòìåòèì, ÷òî ñóïåðïðîâîäíèêè ïî îïðåäåëåíèþ
îòíîñÿòñÿ ê èäåàëüíûì ïðîâîäíèêàì.
   Èäåàëüíûì èçîëÿòîðîì íàçûâàåòñÿ ñðåäà, â êîòîðîé σ = 0. Ñðåäà â êî-
òîðîé îòñóòñòâóþò ñâîáîäíûå ýëåêòðîíû, ñïîñîáíûå íåñòè ýëåêòðè÷åñêèé
òîê, íàçûâàåòñÿ äèýëåêòðèêîì. Ñðåäà íàçûâàåòñÿ èäåàëüíûì äèýëåêòðè-
êîì, åñëè â íåé ñîîòíîøåíèå D = ε0 εE âûïîëíÿåòñÿ ñ ε = const. Åñëè
ñðåäà ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî èäåàëüíûì èçîëÿòîðîì è èäåàëüíûì äèýëåê-
òðèêîì, òî â íåé âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå J = 0. Ñðåäà íàçûâàåòñÿ èäåàëü-
íîé ìàãíèòíîé ñðåäîé, åñëè â íåé ñîîòíîøåíèå B = µ0 µH âûïîëíÿåòñÿ ñ
µ = const. Ìû òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü òåðìèí èäåàëüíàÿ ñðåäà äëÿ
ñðåäû, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî îäíîðîäíîé è èçîòðîïíîé.
    ñëó÷àå, êîãäà îáëàñòü Ω ãðàíè÷èò ñ èäåàëüíûì ïðîâîäíèêîì, çàäà÷à
íàõîæäåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ óïðîùàåòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì
ñëó÷àå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå âíå Ω îòñóòñòâóåò, òàê ÷òî èìååì E2 = 0,
D2 = 0, H2 = 0, B2 = 0. Ñ ó÷åòîì ýòîãî óñëîâèÿ ñîïðÿæåíèÿ (7.20) ïåðå-
õîäÿò â ñëåäóþùèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ íà Γ ≡ Γs äëÿ H = H1 , D = D1 ,
E = E1 è B = B1:
      n × H = −Js , n · D = −ρs , n × E = 0, n · B = 0 íà Γ.        (7.21)

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî óíêöèè Js è ρs â (7.21) â îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ íåèç-
âåñòíûìè, õîòÿ â ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèòóàöèè, êîãäà îä-
íà èç ýòèõ óíêöèé, ëèáî îáå èçâåñòíû.
   Ïðåäïîëîæèì â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè, ÷òî îáëàñòü Ω çàïîëíåíà
èäåàëüíîé ñðåäîé, òàê ÷òî ε = const, µ = const, ïðè÷åì ïëîòíîñòü ρe
èçâåñòíà. Ïåðåïèñàâ ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (7.6) óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà
(7.1)(7.4) òîëüêî â ïåðåìåííûõ E è B è äîáàâèâ ê íèì â êà÷åñòâå ãðàíè÷-
íûõ óñëîâèé ïîñëåäíèå äâà óñëîâèÿ â (7.21) è ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíûå
óñëîâèÿ äëÿ E è B, ìû ïîëó÷èì èñõîäíóþ íà÷àëüíî - êðàåâóþ çàäà÷ó îò-
íîñèòåëüíî âåëè÷èí E è B. åøèâ óêàçàííóþ çàäà÷ó îòíîñèòåëüíî E è
B, äàëåå îïðåäåëÿåì îñòàëüíûå âåëè÷èíû D, H è J èç (7.6), à ïîäñòàâëÿÿ
íàéäåííûå âåëè÷èíû H è D â ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ â (7.21), ìû òàêæå
îïðåäåëÿåì è ãðàíè÷íûå ïëîòíîñòè Js è ρs . Ïðè òàêîì ïîäõîäå îñíîâíàÿ

                                    75

Страницы