Классические методы математической физики - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
Γ ρ
e
ϕ
E D Ω
ρ
s
D · n = −ρ
s
Γ
Ω E
rotE = 0, divE =
ρ
e
ε
0
ε
Ω, E × n = 0 Γ
E
Ω
Ω Γ
Γ
p + 1 Γ
0
, Γ
1
, ..., Γ
p
Γ
0
Γ Ω
Γ Γ
0
Γ
1
Γ
2
rotE = F, divE = θ Ω, E × n = g Γ,
θ g
F = 0 θ = ρ
e
/ε
0
ε g = 0
E = E
2
− E
1
rotE = 0, divE = 0 Ω, E × n = 0 Γ.
G
G
G
1
0
2
W
Òåì ñàìûì äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîòåíöèàëà ϕ ìû ïîëó÷èëè îäíîðîäíóþ çàäà÷ó
Äèðèõëå (7.30), (7.40), èìåþùóþ ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ íà èñõîäíûå
äàííûå (ïàðó Γ è ρe ) åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Îïðåäåëèâ ïîòåíöèàë ϕ, äàëåå
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåì âåêòîðû E è D â Ω èç (7.29), à òàêæå ïîâåðõíîñò-
íóþ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ ρs èç ñîîòíîøåíèÿ D · n = −ρs íà Γ, âûòåêàþùåãî
èç (7.37).
   Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ â îáëàñòè Ω âåêòîðà E èç óñëîâèé
                                   ρe
                rotE = 0, divE =       â Ω, E × n = 0 íà Γ         (7.41)
                                  ε0 ε
íîñèò íàçâàíèå ýëåêòðè÷åñêîé êðàåâîé çàäà÷è, ïîñêîëüêó èìåííî ê íåé ñâî-
äèòñÿ çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ E
â îáëàñòè Ω, çàïîëíåííîé èäåàëüíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ñðåäîé, ãðàíè÷àùåé
ñ èäåàëüíûì ïðîâîäíèêîì. Èç ñâîéñòâ ðåøåíèÿ çàäà÷è (7.30), (7.40) âûòå-
êàåò ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (7.41), íî â ïðåäïî-
ëîæåíèè, ÷òî Ω  îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñî ñâÿçíîé ãðàíèöåé Γ.
   Áîëåå ñëîæíûì ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå ñëó÷àÿ, êîãäà ãðàíèöà Γ ñîñòîèò
èç íåñêîëüêèõ, íàïðèìåð, p + 1 ñâÿçíûõ êîìïîíåíò Γ0 , Γ1 , ..., Γp, ãäå Γ0 
âíåøíÿÿ êîìïîíåíòà ãðàíèöû Γ (ñì. ðèñ. 7.1à, ãäå èçîáðàæåíà îáëàñòü Ω
ñ ãðàíèöåé Γ, ñîñòîÿùåé èç òðåõ êîìïîíåíò Γ0 , Γ1 è Γ2 ). àññìîòðèì äëÿ
ýòîãî ñëó÷àÿ íåîäíîðîäíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó
                    rotE = F, divE = θ â Ω, E × n = g íà Γ,           (7.42)
ãäå θ è g  íåêîòîðûå óíêöèè. Óêàçàííàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì
çàäà÷è (7.41) è ïåðåõîäèò â íåå ïðè F = 0, θ = ρe /ε0 ε, g = 0. Ñ ó÷å-
òîì ýòîãî áóäåì ññûëàòüñÿ íà (7.42) êàê íà íåîäíîðîäíóþ êðàåâóþ çàäà÷ó
ýëåêòðè÷åñêîãî òèïà.
   Îãðàíè÷èìñÿ çäåñü èññëåäîâàíèåì åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è (7.42).
Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ðàçíîñòü E = E2 − E1 äâóõ âîçìîæíûõ ðåøåíèé
çàäà÷è (7.42) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé îäíîðîäíîé êðàåâîé çàäà÷è
                    rotE = 0, divE = 0 â Ω, E × n = 0 íà Γ.           (7.43)

                                     G0
               G1
                                G2

                      W

                          (à)                         (á)


                                          èñ. 7.1.


                                             80

Страницы