Классические методы математической физики - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

rotH = J, divH = θ R
3
,
R
3
R
3
R
3
= Ω
1
∪Ω
2
Ω
1
Ω
1
Ω
2
Ω
2
Ω = Ω
1
H
Γ Ω
n × H = −J
s
, n · H = 0 Γ.
J
s
Γ
H
rotH = J, divH = 0 Ω, H · n = 0 Γ.
rotH = J, divH = θ Ω, H ·n = g Γ.
θ g
H = H
2
−H
1
rotH = 0, divH = 0 Ω, H ·n = 0 Γ.
Ω
Çàäà÷à (7.47) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé êëàññè÷åñêîé çàäà÷è

                        rotH = J, divH = θ â R3 ,                   (7.48)

çàêëþ÷àþùåéñÿ â íàõîæäåíèè âåêòîðíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå R3 ïî çà-
äàííûì ðîòîðó è äèâåðãåíöèè ýòîãî ïîëÿ. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî äëÿ âûäå-
ëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è äîñòàòî÷íî çàäàòü ñîîòâåòñòâó-
þùåå óñëîâèå íà áåñêîíå÷íîñòè. Î ìåòîäàõ ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è âî âñåì
ïðîñòðàíñòâå R3 ìîæíî ïðî÷èòàòü, íàïðèìåð, â [59, ãë. 1℄ è [60, ãë. 9℄.
   2. àññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî âòîðîé ñëó÷àé, êîãäà R3 = Ω1 ∪ Ω2 , ãäå Ω1
 îãðàíè÷åííîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî, ïðè÷åì Ω1 çàïîëíåíî èäåàëüíîé ìàã-
íèòíîé ñðåäîé, à âòîðîå ìíîæåñòâî Ω2 ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíûì ïðîâîäíèêîì.
Ýòè ïðåäïîëîæåíèÿ îçíà÷àþò, ÷òî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â Ω2 îòñóòñòâóåò, à
â îáëàñòè Ω = Ω1 îíî îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì H, óäîâëåòâîðÿþùèì óðàâ-
íåíèÿì ìàãíèòîñòàòèêè (7.47). Ê óðàâíåíèÿì (7.47) ñëåäóåò äîáàâèòü óñëî-
âèÿ íà ãðàíèöå Γ îáëàñòè Ω, êîòîðûå ñ ó÷åòîì ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé
è (7.21) ñâîäÿòñÿ ê äâóì óñëîâèÿì

                      n × H = −Js , n · H = 0 íà Γ.                 (7.49)

 ðàññìàòðèâàåìîé ïîñòàíîâêå ãðàíè÷íóþ óíêöèþ Js , èìåþùóþ ñìûñë
ïëîòíîñòè ïîâåðõíîñòíûõ òîêîâ íà Γ, ñëåäóåò ñ÷èòàòü íåèçâåñòíîé óíêöè-
åé.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (7.47) ïðèøëîñü áû ðàññìàòðèâàòü ïðè
äâóõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (7.49), ÷òî çàâåäîìî ïåðåîïðåäåëÿåò ðàññìàòðè-
âàåìóþ çàäà÷ó, äåëàÿ åå íåêîððåêòíîé. Ïðèñîåäèíèâ ê óðàâíåíèÿì (7.47)
âòîðîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå (7.49), ïðèõîäèì ê çàäà÷å íàõîæäåíèÿ âåêòîðà
H èç óñëîâèé
                rotH = J, divH = 0 â Ω, H · n = 0 íà Γ.             (7.50)

Óêàçàííàÿ çàäà÷à, íàçûâàåìàÿ ìàãíèòíîé êðàåâîé çàäà÷åé, ÿâëÿåòñÿ ÷àñò-
íûì ñëó÷àåì îáùåé íåîäíîðîäíîé êðàåâîé çàäà÷è

                rotH = J, divH = θ â Ω, H · n = g íà Γ.             (7.51)

Çäåñü θ è g  íåêîòîðûå çàäàííûå óíêöèè. Çàäà÷ó (7.51) ïðèíÿòî íàçûâàòü
íåîäíîðîäíîé êðàåâîé çàäà÷åé ìàãíèòíîãî òèïà.
   Òàê æå, êàê è âûøå, îãðàíè÷èìñÿ çäåñü èññëåäîâàíèåì åäèíñòâåííîñòè
ðåøåíèÿ çàäà÷è (7.51). Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ðàçíîñòü H = H2 − H1 äâóõ
âîçìîæíûõ ðåøåíèé çàäà÷è (7.51) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé êðàåâîé
çàäà÷è
                  rotH = 0, divH = 0 â Ω, H · n = 0 íà Γ.          (7.52)
Ìû ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà îáëàñòü Ω èìååò âèä òîðà (ñì. ðèñ. 7.1á).
Êàê èçâåñòíî, òîð íå ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé îáëàñòüþ. Îäíàêî åãî ìîæíî

                                    82

Страницы