Классические методы математической физики - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

v
l(x)
x
x
p
1
(x)
p
2
(x)
p
3
= 1 − p
1
− p
2
ν(x) > 1
n(x, s, t) x
s = (s
1
, s
2
, s
3
) |s| = 1 t F (x, s, t)
ψ = vn x, s
t
ψ
1
v
∂ψ
∂t
+ s · gradψ + αψ =
αh
4π
Z
S
1
ψ(x, s
′
, t)ds
′
+ F,
α = 1/l h = p
1
+ νp
3
ψ F
t
s · gradψ + αψ =
αh
4π
Z
S
1
ψ(x, s
′
)ds
′
+ F.
ψ
Ω
ψ(x, s) = 0 x ∈ Γ
s
= { x ∈ Γ : s · n
x
<
îðìàëüíî ñîâïàäàþùåå ñ óðàâíåíèåì åëüìãîëüöà (6.37). Óðàâíåíèÿ (8.18)
è (8.19) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïðîñòåéøèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, èñïîëüçó-
åìûå â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Íà÷àëüíûå è êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ íèõ îðìó-
ëèðóþòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ëèáî óðàâíåíèÿ
Ïóàññîíà.
    8.6. Óðàâíåíèå ïåðåíîñà èçëó÷åíèÿ. Åñëè äëèíà ñâîáîäíîãî ïðî-
áåãà ÷àñòèö ñðåäû çíà÷èòåëüíî áîëüøå èõ ðàçìåðîâ, òî äëÿ îïèñàíèÿ ïðî-
öåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÷àñòèö âìåñòî ïðèáëèæåíèÿ ñïëîøíîé ñðåäû èñ-
ïîëüçóåòñÿ äðóãîå ïðèáëèæåíèå, ïðèâîäÿùåå ê òàê íàçûâàåìîìó óðàâíå-
íèþ ïåðåíîñà. Ñëåäóÿ [11, . 51℄, ïðèâåäåì çäåñü óðàâíåíèå ïåðåíîñà ïðè
ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ: 1) Ñêîðîñòè âñåõ ÷àñòèö îäèíàêîâû è ðàâíû
v . 2) Ñòîëêíîâåíèÿ ÷àñòèö ïðåíåáðåæèìî ðåäêè. 3) ×àñòèöû ñòàëêèâàþòñÿ
ñ íåïîäâèæíûìè ÿäðàìè ñðåäû; l(x) - èõ ñðåäíÿÿ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáå-
ãà â òî÷êå x. 4) Ïðè ñòîëêíîâåíèè ÷àñòèöû ñ íåïîäâèæíûì ÿäðîì â òî÷êå
x ïðîèñõîäèò îäíî èç ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé: a) ñ âåðîÿòíî-
ñòüþ p1 (x) ÷àñòèöà ðàññåèâàåòñÿ íà ÿäðå, îòñêàêèâàÿ îò íåãî, êàê óïðóãèé
øàðèê; b) ñ âåðîÿòíîñòüþ p2 (x) ÷àñòèöà çàõâàòûâàåòñÿ ÿäðîì; ) ñ âåðîÿò-
íîñòüþ p3 = 1 − p1 − p2 ÷àñòèöà äåëèò ÿäðî, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîÿâëÿåòñÿ
ν(x) > 1 òàêèõ æå ÷àñòèö (ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ÷àñòèöà, ðàçäåëèâ-
øàÿ ÿäðî, èñ÷åçàåò). 5) àñïðåäåëåíèå ÷àñòèö ïî íàïðàâëåíèÿì êàê ïîñëå
ðàññåÿíèÿ, òàê è ïîñëå äåëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì (ò. å. èçîòðîïíûì).
    Îáîçíà÷èì ÷åðåç n(x, s, t) ïëîòíîñòü ÷àñòèö â òî÷êå x, ëåòÿùèõ â íà-
ïðàâëåíèè s = (s1 , s2 , s3 ), |s| = 1, â ìîìåíò t, ÷åðåç F (x, s, t) - ïëîò-
íîñòü îáúåìíûõ èñòî÷íèêîâ. Ââåä¼ì óíêöèþ ψ = vn , çàâèñÿùóþ îò x, s,
t è íàçûâàåìóþ ïîòîêîì ÷àñòèö. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè óêàçàííûõ
ïðåäïîëîæåíèÿõ ïîâåäåíèå óíêöèè ψ îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì èíòåãðî-
äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì:
              1 ∂ψ                      αh
                                           Z
                   + s · gradψ + αψ =         ψ(x, s′ , t)ds′ + F,      (8.20)
              v ∂t                      4π S1
ãäå α = 1/l, h = p1 + νp3 . Óðàâíåíèå (8.20) íàçûâàåòñÿ îäíîñêîðîñòíûì
óðàâíåíèåì ïåðåíîñà äëÿ ïðîöåññîâ ñ èçîòðîïíûì ðàññåÿíèåì.
   Åñëè ïðîöåññ ïåðåíîñà ñòàöèîíàðåí, òàê ÷òî óíêöèè ψ è F íå çàâèñÿò
îò t, òî óðàâíåíèå ïåðåíîñà (8.20) ïðèíèìàåò âèä
                                    αh
                                       Z
                  s · gradψ + αψ =        ψ(x, s′)ds′ + F.        (8.21)
                                    4π S1
   Äëÿ ïîëíîãî îïèñàíèÿ ïðîöåññà ïåðåíîñà ÷àñòèö íåîáõîäèìî çàäàòü íà-
÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïîòîêà ÷àñòèö ψ â ñðåäå è ãðàíè÷íîå óñëîâèå, îïè-
ñûâàþùåå ðåæèì ïðîòåêàíèÿ ïðîöåññà íà ãðàíèöå ýòîé ñðåäû. Íàïðèìåð,
åñëè îáëàñòü Ω, ãäå ïðîèñõîäèò ïðîöåññ ïåðåíîñà, âûïóêëàÿ, òî ÷àñòî èñ-
ïîëüçóåòñÿ ãðàíè÷íîå óñëîâèå âèäà ψ(x, s) = 0, x ∈ Γs = {x ∈ Γ : s · nx <

                                     91

Страницы