Классические методы математической физики - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω R
n
u : Ω → R
x
1
, ···, x
n
x ∈ Ω
u
F
x
1
, x
2
, ..., x
n
, u,
∂u
∂x
1
, ...,
∂u
∂x
n
, ....,
∂
k
1
+...+k
n
u
∂x
k
1
1
...∂x
k
n
n
!
= 0.
F
F
r = ∂
2
u/∂x
2
1
∂F/∂r 6≡ 0 F
x y
F (x, y, u,
∂u
∂x
,
∂u
∂y
) = 0.
F
x, y, u p = ∂u/∂x q = ∂u/∂y
∂F
∂p
+
∂F
∂q
6≡ 0.
   ËÀÂÀ 2. Îáùèå âîïðîñû òåîðèè óðàâíåíèé
           â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ


  Ÿ1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ
                    ïðîèçâîäíûõ
   1.1. Óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è èõ ðåøåíèÿ.                         ãë. 1
íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì êîëè÷åñòâå ïðèìåðîâ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ìàòåìà-
òè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå èçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè
ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ ëèáî êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ,
óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, óðàâíåíèé Ëàïëàñà, Ïóàññîíà, åëüìãîëüöà
è äðóãèõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ëèáî èõ ñèñòåì. Óêàçàííûå óðàâ-
íåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âàæíûìè ïðåäñòàâèòåëÿìè øèðîêîãî êëàññà ìàòåìàòè÷å-
ñêèõ îáúåêòîâ, íàçûâàåìûõ äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ.
    îáùåì ñëó÷àå ïîä äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèç-
âîäíûõ, ðàññìàòðèâàåìûì â íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ïðîñòðàíñòâà Rn , ïîíè-
ìàåòñÿ ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå íåèçâåñòíóþ óíêöèþ u : Ω → R íåçà-
âèñèìûõ ïåðåìåííûõ x1 , · · · , xn  êîîðäèíàò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè x ∈ Ω è
÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò óíêöèè u âèäà
                                                                      !
                                                         k1 +...+kn
                                 ∂u         ∂u         ∂            u
           F x1, x2, ..., xn, u,     , ...,     , ...., k1              = 0.   (1.1)
                                 ∂x1        ∂xn        ∂x1 ...∂xknn
Çäåñü F  çàäàííàÿ óíêöèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Ïîðÿäîê ñòàðøåé ÷àñòíîé
ïðîèçâîäíîé, âõîäÿùåé â óðàâíåíèå (1.1), íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì óðàâíåíèÿ
â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ââåäåííûì îïðåäåëåíèåì óðàâ-
íåíèå (1.1) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà, åñëè F ÿâíî çàâèñèò
õîòÿ áû îò îäíîé ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà, ñêàæåì r = ∂ 2 u/∂x21, â
òîì ñìûñëå, ÷òî ∂F/∂r 6≡ 0, ïðè÷åì F íå çàâèñèò îò ïðîèçâîäíûõ áîëåå
âûñîêîãî ïîðÿäêà.
   Îáùåå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ äâóìÿ íåçà-
âèñèìûìè ïåðåìåííûìè x è y ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå
                                           ∂u ∂u
                             F (x, y, u,     , ) = 0.                         (1.2)
                                           ∂x ∂y
Çäåñü F  çàäàííàÿ óíêöèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ.  ÷àñòíîñòè, îíà ìîæåò íå
çàâèñåòü îò x, y, u è îäíîé èç ïðîèçâîäíûõ p = ∂u/∂x èëè q = ∂u/∂y , íî
íåïðåìåííî äîëæíà çàâèñåòü îò äðóãîé ïðîèçâîäíîé, òàê ÷òî âûïîëíÿåòñÿ
óñëîâèå
                              ∂F     ∂F
                                  +      6≡ 0.
                              ∂p     ∂q
                                           93

Страницы