Классические методы математической физики - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

F (x, y, u,
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂
2
u
∂x
2
,
∂
2
u
∂x∂y
,
∂
2
u
∂y
2
) = 0,
F
F
A(x, y, u, u
x
, u
y
)
∂
2
u
∂x
2
+ B(...)
∂
2
u
∂x∂y
+ C(...)
∂
2
u
∂y
2
+ F (...) = 0,
B C F
A
A(x, y)
∂
2
u
∂x
2
+ 2B(x, y)
∂
2
u
∂x∂y
+ C(x, y)
∂
2
u
∂y
2
+
+D(x, y)
∂u
∂x
+ E(x, y)
∂u
∂y
+ G(x, y)u = F (x, y)
u
Ω ⊂ R
n
u : Ω → R
∆u ≡
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
= −f
   Àíàëîãè÷íî îáùåå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà
èìååò âèä
                            ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                 F (x, y, u, , , 2 ,       ,     ) = 0,         (1.3)
                            ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y 2
ãäå óíêöèÿ F ÿâíî çàâèñèò õîòÿ áû îò îäíîé ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïî-
ðÿäêà. Â äàëüíåéøåì ïðè ðàññìîòðåíèè îáùèõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà
óêàçàííîå ñâîéñòâî ÿâíîé çàâèñèìîñòè óíêöèè F õîòÿ áû îò îäíîé ïðî-
èçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà âñåãäà áóäåò ïðåäïîëàãàòüñÿ âûïîëíåííûì.
   Î÷åíü ÷àñòî ðàññìàòðèâàåìûå óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè èëè êâà-
çèëèíåéíûìè. Óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íàçûâàåòñÿ êâàçèëèíåé-
íûì, åñëè îíî ëèíåéíî îòíîñèòåëüíî âñåõ ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ îò íåèç-
âåñòíîé óíêöèè. Òàê, íàïðèìåð, óðàâíåíèå

                           ∂ 2u           ∂ 2u          ∂ 2u
     A(x, y, u, ux, uy )        + B(...)       + C(...)      + F (...) = 0,   (1.4)
                           ∂x2           ∂x∂y           ∂y 2
ãäå êîýèöèåíòû B , C è ïðàâàÿ ÷àñòü F çàâèñÿò îò òåõ æå àðãóìåí-
òîâ, ÷òî è A, åñòü êâàçèëèíåéíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà. Óðàâíåíèå â
÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè îíî ëèíåéíî îòíîñèòåëü-
íî íåèçâåñòíîé óíêöèè è âñåõ åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Òàê, íàïðèìåð,
óðàâíåíèå
                        ∂ 2u             ∂ 2u          ∂ 2u
                 A(x, y) 2 + 2B(x, y)         + C(x, y) 2 +
                        ∂x              ∂x∂y           ∂y
                        ∂u             ∂u
               +D(x, y)      + E(x, y)    + G(x, y)u = F (x, y)
                        ∂x             ∂y
åñòü ëèíåéíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî óíêöèè u. åøå-
íèåì óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (1.1) â îáëàñòè Ω ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ
ëþáàÿ äèåðåíöèðóåìàÿ íóæíîå êîëè÷åñòâî ðàç óíêöèÿ u : Ω → R, êî-
òîðàÿ, áóäó÷è ïîäñòàâëåíà â (1.1) âìåñòî íåèçâåñòíîé óíêöèè, îáðàùàåò
ýòî óðàâíåíèå â òîæäåñòâî ïî íåçàâèñèìûì ïåðåìåííûì.
   Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â ãë. 1 áûë ðàññìîòðåí øèðîêèé êëàññ èçè÷åñêèõ
ïðîöåññîâ è ÿâëåíèé, ïðèìåíåíèå äëÿ èõ èññëåäîâàíèÿ èäåé ìàòåìàòè÷å-
ñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðèâåëî íàñ àêòè÷åñêè ê òðåì óðàâíåíèÿì âòîðîãî
ïîðÿäêà. Óðàâíåíèå Ïóàññîíà

                               ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                           ∆u ≡ 2 + 2 + 2 = −f                                (1.5)
                               ∂x   ∂y   ∂z
ìîäåëèðóåò ðàñïðåäåëåíèå ãðàâèòàöèîííîãî èëè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïî-
òåíöèàëà â ïðîñòðàíñòâå, ñòàöèîíàðíûå ïðîöåññû ïåðåíîñà òåïëà è äè-
óçèè, ïîâåäåíèå ïîòåíöèàëà ñêîðîñòè áåçâèõðåâîãî äâèæåíèÿ èäåàëüíîé


                                           94

Страницы