Классические методы математической физики - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

η
a
γ = 0 a = 0
η = 0
∂u
∂t
+ a · gradu + γu = f.
γ = 0
n
X
i,j=1
a
ij
(x
1
, ..., x
n
)
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
+ f
x
1
, ..., x
n
, u,
∂u
∂x
1
, ...,
∂u
∂x
n
= 0.
a
ij
x
1
, ..., x
n
x ∈ Ω ⊂ R
n
f
a
ij
= a
ji
x
0
= ( x
0
1
, ..., x
0
n
) Ω
n
X
i,j=1
a
0
ij
t
i
t
j
≡
n
X
i,j=1
a
ij
(x
0
1
, ..., x
0
n
)t
i
t
j
.
ñ ïåðåìåííûì êîýèöèåíòîì äèóçèè η , îïèñûâàþùåãî ðàñïðîñòðàíå-
íèå âåùåñòâà â ñðåäå, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ a, ó÷åòîì ýåêòà ïî-
ãëîùåíèÿ âåùåñòâà çà ñ÷åò õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé. Ïðè γ = 0 è diva = 0
óðàâíåíèå (1.9) ñîâïàäàåò ñ òî÷íîñòüþ äî îáîçíà÷åíèé ñ óðàâíåíèåì ðàñ-
ïðîñòðàíåíèÿ òåïëà (4.20) ãë. 1 â äâèæóùåéñÿ ñðåäå. Â äðóãîì âàæíîì
÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ýåêòàìè äèóçèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïî ñðàâ-
íåíèþ ñ êîíâåêöèåé, ïîëàãàÿ η = 0, óðàâíåíèå (1.9) ïåðåõîäèò â óðàâíåíèå
1-îãî ïîðÿäêà
                               ∂u
                                  + a · gradu + γu = f.                     (1.10)
                               ∂t
Ïðè γ = 0 óðàâíåíèå (1.10) îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå âåùåñòâà ëèáî òåï-
ëà çà ñ÷åò êîíâåêöèè è íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïåðåíîñà ëèáî óðàâíåíèåì
àäâåêöèè.
   Óðàâíåíèå (1.10) èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïðè èçó÷åíèè ïðîöåññîâ ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ âåùåñòâà èëè òåïëà â ñðåäàõ, â êîòîðûõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ý-
åêòàìè äèóçèè. Êðîìå òîãî, íåîáõîäèìîñòü â èññëåäîâàíèè óðàâíå-
íèÿ (1.10) âîçíèêàåò è â ñëó÷àå, êîãäà äëÿ èçó÷åíèÿ îáùåãî óðàâíåíèÿ
êîíâåêöèè-äèóçèè (1.9) ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ ïî èçè÷åñêèì
ïðîöåññàì (ñì. Ââåäåíèå). Ââèäó âàæíîñòè óðàâíåíèÿ (1.10) ñëåäóþùèé
ïàðàãðà áóäåò öåëèêîì ïîñâÿùåí èçó÷åíèþ ñâîéñòâ åãî ðåøåíèé è èçó÷å-
íèþ êîððåêòíûõ ïîñòàíîâîê íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ (1.10),
à òàêæå äëÿ åãî îäíîìåðíîãî ëèáî ñòàöèîíàðíîãî àíàëîãîâ. Òàì æå ìû
ââåäåì óíäàìåíòàëüíîå ïîíÿòèå õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (1.10) è ïî-
êàæåì, ÷òî çàäà÷à èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (1.10) àêòè÷åñêè ýêâèâà-
ëåíòíà èíòåãðèðîâàíèþ îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ
åãî õàðàêòåðèñòèê.
   1.2. Òèïû óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà. àññìîòðèì óðàâíåíèå âòî-
ðîãî ïîðÿäêà âèäà
      n
                            ∂ 2u
                                                                    
     X                                                ∂u         ∂u
         aij (x1, ..., xn)        + f x1, ..., xn, u,     , ...,       = 0. (1.11)
     i,j=1
                           ∂xi∂xj                     ∂x1        ∂xn

Çäåñü êîýèöèåíòû aij  çàäàííûå óíêöèè êîîðäèíàò x1 , ..., xn òî÷êè
x ∈ Ω ⊂ Rn , f  çàäàííàÿ óíêöèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ, ïðè÷åì ïðåäïî-
ëàãàåòñÿ, ÷òî aij = aji . Âñå óíêöèè è íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå ñ÷èòàåì
âåùåñòâåííûìè.
    ýòîì ïàðàãðàå ìû ïðèâåä¼ì êëàññèèêàöèþ óðàâíåíèé âèäà (1.11)
â òî÷êå. Çàèêñèðóåì îïðåäåëåííóþ òî÷êó x0 = (x01 , ..., x0n) â îáëàñòè Ω è
ñîñòàâèì êâàäðàòè÷íóþ îðìó, äåéñòâóþùóþ ïî îðìóëå:
                      n
                      X                        n
                                               X
                              a0ij ti tj   ≡           aij (x01, ..., x0n)titj .   (1.12)
                      i,j=1                    i,j=1

                                                  96

Страницы