Классические методы математической физики - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

c >
0
n
X
i,j=1
a
0
ij
t
i
t
j
≥ c
n
X
i=1
t
2
i
,
n
X
i,j=1
a
0
ij
t
i
t
j
≤ −c
n
X
i=1
t
2
i
∀(t
1
, ..., t
n
) ∈ R
n
.
t
k
=
n
X
i=1
c
ik
ξ
i
,
((a
0
ij
))
m
X
i=1
±ξ
2
i
, 1 ≤ m ≤ n.
|a
0
ij
−λδ
ij
| = 0
δ
ij
((a
0
ij
))
((a
0
ij
))
ξ
k
=
n
X
i=1
c
ki
x
i
n
X
i,j=1
˜a
ij
(x)
∂
2
u
∂ξ
i
∂ξ
j
+ ... = 0.
   Íàïîìíèì, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ îðìà âèäà (1.12) íàçûâàåòñÿ ïîëîæè-
òåëüíî, ëèáî îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé, åñëè ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà c >
0, ñ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
    n
    X                         n
                              X                        n
                                                       X                           n
                                                                                   X
            a0ij ti tj   ≥c         t2i ,    ëèáî              a0ij ti tj   ≤ −c         t2i ∀(t1, ..., tn) ∈ Rn .
    i,j=1                     i=1                      i,j=1                       i=1

Èç àëãåáðû õîðîøî èçâåñòíî [17, . 192℄, ÷òî ñóùåñòâóåò íåâûðîæäåííîå
ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ
                                                                n
                                                                X
                                                      tk =            cik ξi ,                                  (1.13)
                                                                i=1

êîòîðîå ïðèâîäèò ìàòðèöó ((a0ij )) êâàäðàòè÷íîé îðìû (1.12) ê êàíîíè÷å-
ñêîìó (äèàãîíàëüíîìó) âèäó
                                               m
                                               X
                                                       ±ξi2 , 1 ≤ m ≤ n.                                        (1.14)
                                               i=1

     Ñóùåñòâóåò ìíîãî íåâûðîæäåííûõ âåùåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïðè-
âîäÿùèõ îðìó (1.12) ê âèäó (1.14), íî ñîãëàñíî çàêîíó èíåðöèè êâàäðà-
òè÷íûõ îðì ÷èñëî ïîëîæèòåëüíûõ, îòðèöàòåëüíûõ è ðàâíûõ íóëþ êîý-
èöèåíòîâ â êàíîíè÷åñêîì âèäå êâàäðàòè÷íîé îðìû èíâàðèàíòíî îòíî-
ñèòåëüíî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ò. å. íå çàâèñèò îò âûáîðà ëèíåéíî-
ãî ïðåîáðàçîâàíèÿ [17, . 198℄. Èç àëãåáðû òàêæå èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå
|a0ij − λδij | = 0, ãäå δij  ñèìâîë Êðîíåêåðà, èìååò ëèøü âåùåñòâåííûå êîð-
íè, íàçûâàåìûå ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû ((a0ij )), ïðè÷åì ÷èñëî
÷ëåíîâ â (1.14) ñ ïîëîæèòåëüíûìè ëèáî îòðèöàòåëüíûìè çíàêàìè ðàâíî
÷èñëó ïîëîæèòåëüíûõ ëèáî îòðèöàòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðè-
öû ((a0ij )).
     Åñëè ïðåîáðàçîâàíèå (1.13) ïðèâîäèò îðìó (1.12) ê êàíîíè÷åñêîìó âè-
äó (1.14), òî, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, ïðåîáðàçîâàíèå
                                                                n
                                                                X
                                                       ξk =           cki xi                                    (1.15)
                                                                i=1

ïðèâîäèò óðàâíåíèå (1.11) ê âèäó
                                            n
                                            X                   ∂ 2u
                                                    ãij (x)          + ... = 0.                                (1.16)
                                            i,j=1
                                                               ∂ξi∂ξj


                                                                 97

Страницы