Классические методы математической физики - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω x
0
∈ Ω
∂u/∂x
i
Ω ⊂ R
n
y
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0.
Ω ⊂ R
2
x Ω x
(x, 0) x
Ω x
Ω a
ij
n
X
i,j=1
a
ij
(x)t
i
t
j
≥ α(x)
n
X
i=1
t
2
i
∀x ∈ Ω, (t
1
, ···, t
n
) ∈ R
n
.
íóëþ, à âñå îñòàëüíûå êîýèöèåíòû èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè.
   Îïðåäåëåíèå 1.2. Óðàâíåíèå (1.11) íàçûâàþò óðàâíåíèåì ýëëèïòè-
÷åñêîãî (ñîîòâ. ãèïåðáîëè÷åñêîãî ëèáî ïàðàáîëè÷åñêîãî) òèïà â îáëàñòè
Ω, åñëè â êàæäîé òî÷êå x0 ∈ Ω îíî ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ýëëèïòè÷åñêîãî
(ñîîòâ. ãèïåðáîëè÷åñêîãî ëèáî ïàðàáîëè÷åñêîãî) òèïà.
   Ïîä÷åðêíåì, ÷òî òèï óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿä-
êà îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî êîýèöèåíòàìè óðàâíåíèÿ, ñòîÿùèìè ïðè ñòàð-
øèõ ïðîèçâîäíûõ, ò. å. ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà. Òàêèì îáðàçîì, òèï
íå çàâèñèò îò õàðàêòåðà âõîæäåíèÿ â íåãî ñàìîé óíêöèè è åå ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ ∂u/∂xi. Ïîñëåäíèå ìîãóò äàæå îòñóòñòâîâàòü ëèáî âõîäèòü
â óðàâíåíèå äîñòàòî÷íî ñëîæíûì íåëèíåéíûì îáðàçîì. Ëåãêî óáåäèòüñÿ,
îñíîâûâàÿñü íà ïðèâåäåííûõ îïðåäåëåíèÿõ, ÷òî â ëþáîé îáëàñòè Ω ⊂ Rn
óðàâíåíèå Ëàïëàñà (ëèáî Ïóàññîíà, åëüìãîëüöà) èìååò ýëëèïòè÷åñêèé
òèï, âîëíîâîå óðàâíåíèå èìååò ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï, à óðàâíåíèå òåïëî-
ïðîâîäíîñòè èìååò ïàðàáîëè÷åñêèé òèï.
   Êîíå÷íî, ñðåäè îãðîìíîãî êîëè÷åñòâà óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîä-
íûõ, îïèñûâàþùèõ ðàçíîîáðàçíûå ïðîöåññû, âñòðå÷àþòñÿ óðàâíåíèÿ ñìå-
øàííîãî òèïà, ò. å. óðàâíåíèÿ, òèï êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ðàçëè÷íûì â ðàç-
ëè÷íûõ ïîäîáëàñòÿõ ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè. Òàê, íàïðèìåð, â ëèíåéíîé
ãàçîâîé äèíàìèêå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå Òðèêîìè
                                        ∂ 2u ∂ 2u
                                    y       +     = 0.                           (1.17)
                                        ∂x2 ∂y 2
Óðàâíåíèå (1.17) ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì â ëþáîé îáëàñòè Ω ⊂ R2 , ëåæà-
ùåé âûøå îñè x,òîãäà êàê â ëþáîé îáëàñòè Ω, ëåæàùåé íèæå îñè x, îíî
èìååò ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï. Íàêîíåö, â òî÷êàõ (x, 0), ëåæàùèõ íà îñè x,
îíî èìååò ïàðàáîëè÷åñêèé òèï. Óêàçàííûå àêòû îçíà÷àþò, ÷òî â ëþáîé
îáëàñòè Ω, èìåþùåé íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ îñüþ x, óðàâíåíèå (1.17) ÿâëÿ-
åòñÿ óðàâíåíèåì ñìåøàííîãî òèïà. Èññëåäîâàíèþ óðàâíåíèé ñìåøàííîãî
òèïà ïîñâÿùåíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàáîò. Îäíàêî íèæå ìû íå áóäåì çàíè-
ìàòüñÿ èçó÷åíèåì óðàâíåíèé ñìåøàííîãî òèïà, ïîñêîëüêó ýòî âûõîäèò çà
ðàìêè ïðîãðàììû êóðñà Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Ìû òàêæå
íå áóäåì çàíèìàòüñÿ óëüòðàãèïåðáîëè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè è óðàâíåíèÿ-
ìè, ïàðàáîëè÷åñêèìè â øèðîêîì ñìûñëå.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì íèæå ïîä
òåðìèíîì ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ áóäåì ïîíèìàòü òîëüêî óðàâíåíèÿ,
ïàðàáîëè÷åñêèå â óçêîì ñìûñëå.
    ñèëó îïðåäåëåíèÿ 1.2 óðàâíåíèå (1.11) ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì â îáëà-
ñòè Ω òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êîýèöèåíòû aij óäîâëåòâîðÿþò (áûòü
ìîæåò, ïîñëå óìíîæåíèÿ íà -1) óñëîâèþ
        n
        X                           n
                                    X
               aij (x)titj ≥ α(x)         t2i ∀x ∈ Ω, (t1, · · · , tn ) ∈ Rn .   (1.18)
       i,j=1                        i=1

                                               99

Страницы