Классические методы математической физики - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

α Ω
α β
α
n
X
i=1
t
2
i
≤
n
X
i,j=1
a
ij
(x)t
i
t
j
≤ β
n
X
i=1
t
2
i
∀x ∈ Ω, (t
1
, ···, t
n
) ∈ R
n
,
Ω
Ω
Ω
Ω x
Ω Ω x
∂
2
u
∂t
2
−
n
X
i,j=1
a
ij
(x, t)
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
= F (x, t, u, ∇u,
∂u
∂t
),
∂u
∂t
−
n
X
i,j=1
a
ij
(x, t)
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
= F (x, t, u, ∇u),
∇u = (∂u/∂x
1
, ∂u/∂x
2
, ..., ∂u/∂x
n
)
D ⊂ R
n
× R
1
t
n
X
i,j=1
a
ij
(x, t)t
i
t
j
≥ α(x, t)
n
X
i=1
t
2
i
∀(x, t) ∈ D, (t
1
, ···, t
n
) ∈ R
n
,
α (x, t) ∈ D
α β
α
n
X
i=1
t
2
i
≤
n
X
i,j=1
a
ij
(x, t)t
i
t
j
≤ β
n
X
i=1
t
2
i
∀(x, t) ∈ D, (t
1
, ···, t
n
) ∈ R
n
,
D
Lu = f, u ∈ U, f ∈ F.
Çäåñü α  íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ â Ω óíêöèÿ. Åñëè, áîëåå òîãî, ñóùå-
ñòâóþò òàêèå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû α è β , ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
         n
         X                 n
                           X                         n
                                                     X
     α           t2i   ≤           aij (x)titj ≤ β         t2i ∀x ∈ Ω, (t1 , · · · , tn) ∈ Rn ,    (1.19)
           i=1             i,j=1                     i=1

òî óðàâíåíèå (1.11) íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ýëëèïòè÷åñêèì â Ω. ßñíî, ÷òî
êàæäîå ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè ÿâëÿåò-
ñÿ ðàâíîìåðíî ýëëèïòè÷åñêèì â îáëàñòè Ω. Íî íå êàæäîå ýëëèïòè÷åñêîå
â Ω óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ýëëèïòè÷åñêèì. Ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ
óðàâíåíèå Òðèêîìè (1.17), êîòîðîå, áóäó÷è ýëëèïòè÷åñêèì â ëþáîé îáëà-
ñòè Ω, ëåæàùåé âûøå îñè x, íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ýëëèïòè÷åñêèì â
óêàçàííîé îáëàñòè Ω, åñëè åå çàìûêàíèå Ω ñîäåðæèò òî÷êè îñè x.
   Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå ðàâíîìåðíîé ãèïåðáîëè÷-
íîñòè è ïàðàáîëè÷íîñòè äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Îãðàíè÷èìñÿ çäåñü
ðàññìîòðåíèåì óðàâíåíèé âèäà
                                  n
                           ∂ 2u X                ∂ 2u                    ∂u
                               −     aij (x, t)        = F (x, t, u, ∇u,    ),                     (1.20)
                           ∂t2 i,j=1            ∂xi∂xj                   ∂t
                                      n
                                ∂u X                 ∂ 2u
                                  −      aij (x, t)        = F (x, t, u, ∇u),                      (1.21)
                                ∂t i,j=1            ∂xi∂xj
ãäå ∇u = (∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn). Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 1.2
óñëîâèå ãèïåðáîëè÷íîñòè óðàâíåíèÿ (1.20) (ëèáî ïàðàáîëè÷íîñòè óðàâíå-
íèÿ (1.21)) â ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè D ⊂ Rn × R1t ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ
     n
     X                                        n
                                              X
             aij (x, t)titj ≥ α(x, t)                t2i ∀(x, t) ∈ D, (t1 , · · · , tn) ∈ Rn ,     (1.22)
     i,j=1                                    i=1

ãäå α  ïîëîæèòåëüíàÿ óíêöèÿ òî÷åê (x, t) ∈ D. Åñëè ê òîìó æå ñóùåñòâó-
þò ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû α è β , ñ êîòîðûìè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
     n
     X                 n
                       X                            n
                                                    X
 α         t2i   ≤             aij (x, t)titj ≤ β         t2i ∀(x, t) ∈ D, (t1, · · · , tn ) ∈ Rn , (1.23)
     i=1               i,j=1                        i=1

òî óðàâíåíèå (1.20) (ëèáî (1.21)) íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ãèïåðáîëè÷åñêèì
(ëèáî ïàðàáîëè÷åñêèì) â îáëàñòè D.
   1.3. Êîððåêòíî è íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûå çàäà÷è. Âñÿêóþ
çàäà÷ó ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

                                          Lu = f, u ∈ U, f ∈ F.                                    (1.24)

                                                           100

Страницы