Классические методы математической физики - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

C
m
(Ω) C
∞
(Ω) C
m
(Ω)
Ω Γ
Ω = Ω ∪ Γ C
m
(Ω)
Ω m
Ω Ω ∪ Γ
U F
k · k
U
k · k
F
u ∈ U
(F, U)
u ∈ U f ∈ F u ∈ U
U u
f F
f U u
ε > 0 δ = δ(ε)
kf
1
− f
2
k
F
≤ δ Lu
1
= f
1
, Lu
2
= f
2
ku
1
− u
2
k
U
≤ ε
L
L(αu + βv) = αLu + βLv ∀u, v ∈ U α, β ∈ R.
L
L
−1
Lu = 0
f = 0
y
′
= f(x, y), y(x
0
) = y
0
.
f Ω ⊂ R
2
y
 òî æå âðåìÿ ïðîñòðàíñòâà C m(Ω) è C ∞ (Ω), â îòëè÷èå îò C m (Ω), íå ÿâ-
ëÿþòñÿ áàíàõîâûìè.  ñëó÷àå íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω ñ ãðàíèöåé Γ ïî-
ëîæèì Ω = Ω ∪ Γ è óñëîâèìñÿ ïîä C m(Ω) ïîíèìàòü ìíîæåñòâî óíêöèé
â Ω, âñå ïðîèçâîäíûå êîòîðûõ äî ïîðÿäêà m âêëþ÷èòåëüíî ñóùåñòâóþò,
îãðàíè÷åíû â Ω è äîïóñêàþò íåïðåðûâíîå ïðîäîëæåíèå íà Ω ∪ Γ. Ìîæ-
íî ïîêàçàòü, ÷òî óêàçàííîå ïðîñòðàíñòâî òàêæå ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì ïî
íîðìå (1.25). Äðóãèå ïðèìåðû íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ áóäóò ïðèâî-
äèòüñÿ íèæå ïðè ðàññìîòðåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà U è F â (1.24) ÿâëÿþòñÿ íîðìè-
ðîâàííûìè ñ íîðìàìè k · kU è k · kF ñîîòâåòñòâåííî, ââåäåì ñëåäóþùåå
óíäàìåíòàëüíîå ïîíÿòèå.
   Îïðåäåëåíèå 1.3. Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ u ∈ U óðàâíåíèÿ
(1.24) íàçûâàåòñÿ êîððåêòíî ïîñòàâëåííîé íà ïàðå (F, U ), åñëè: 1) ðå-
øåíèå u ∈ U ñóùåñòâóåò äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà f ∈ F , 2) ðåøåíèå u ∈ U
óðàâíåíèÿ (1.24) åäèíñòâåííî â U , 3) ðåøåíèå u íåïðåðûâíî çàâèñèò îò
f â òîì ñìûñëå, ÷òî ìàëîìó â íîðìå ïðîñòðàíñòâà F èçìåíåíèþ ïðàâîé
÷àñòè f îòâå÷àåò ìàëîå â íîðìå ïðîñòðàíñòâà U èçìåíåíèå ðåøåíèÿ u.
Åñëè íå âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé 1) - 3), òî äàííàÿ çàäà÷à
íàçûâàåòñÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé.
   Ñâîéñòâî 3) íàçûâàåòñÿ òàêæå óñòîé÷èâîñòüþ ðåøåíèÿ. Ñîãëàñíî åìó
äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ìîæíî óêàçàòü òàêîå ÷èñëî δ = δ(ε), ÷òî åñëè
kf1 − f2 kF ≤ δ è Lu1 = f1, Lu2 = f2, òî ku1 − u2kU ≤ ε.
   Çàìå÷àíèå 1.1.  çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè îïåðàòîð L îáû÷íî
ëèíååí, ò. å. óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
             L(αu + βv) = αLu + βLv ∀u, v ∈ U è α, β ∈ R.
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ñâîéñòâî åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî óðàâ-
íåíèÿ (1.24) ýêâèâàëåíòíî îáðàòèìîñòè îïåðàòîðà L, ò. å. ñóùåñòâîâàíèþ
îáðàòíîãî îïåðàòîðà L−1 . Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî
îäíîðîäíîå óðàâíåíèå Lu = 0 èìååò ëèøü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå. Ïîýòî-
ìó äëÿ ëèíåéíûõ çàäà÷ äîêàçàòåëüñòâî åäèíñòâåííîñòè ñâîäèòñÿ ê äîêà-
çàòåëüñòâó åäèíñòâåííîñòè òðèâèàëüíîãî (íóëåâîãî) ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî
óðàâíåíèÿ (1.24) (ïðè f = 0). Òî÷íî òàê æå äîêàçàòåëüñòâî óñòîé÷èâî-
ñòè (ëèáî íåóñòîé÷èâîñòè) ñâîäèòñÿ ê äîêàçàòåëüñòâó óñòîé÷èâîñòè (ëèáî
íåóñòîé÷èâîñòè) òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ. Ýòèìè àêòàìè ìû â äàëüíåéøåì
÷àñòî áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ïðè èññëåäîâàíèè åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâî-
ñòè ðåøåíèé ëèíåéíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.
   Ïðèìåðîì êîððåêòíî ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à Êîøè äëÿ
îáûêíîâåííîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ 1-ãî ïîðÿäêà
                        y ′ = f (x, y), y(x0) = y0 .
Çäåñü f  íåïðåðûâíàÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ⊂ R2 óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿ-
þùàÿ óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî y . Äîêàçàòåëüñòâî êîððåêòíîñòè ýòîé çàäà÷è,

                                    102

Страницы