Классические методы математической физики - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y x
0
y
0
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0
R
2
, u|
y=0
= ϕ(x),
∂u
∂y
|
y=0
= ψ(x)
R.
ϕ ψ R u
ϕ = ϕ
1
= 0
ψ = ψ
1
(x) = (1/a)sinax a = co nst > 0 u
u(x, y) =
1
a
2
sinaxshay,
ϕ = ϕ
2
= 0 ψ = ψ
2
= 0
u ≡ 0
u Ω = {−∞ < x < ∞, 0 < y < b} b > 0
C(R) C(Ω) Ω = {−∞ < x < ∞, 0 ≤ y ≤ b}
kψk
C(R)
= sup
x∈R
|ψ(x)|, kuk
C(
Ω)
= sup
(x,y)∈
Ω
|u(x, y)|,
kψ
1
− ψ
2
k
C(R)
= kψ
1
k
C(R)
≡ sup
x∈R
|ψ
1
(x)| = sup
x∈R
|
1
a
sinax| =
1
a
,
ku
1
− u
2
k
C(
Ω)
= ku
1
k
C(Ω)
= sup
(x,y)∈
Ω
|u
1
(x, y)| =
1
a
2
sup
y∈[0,b]
shay =
1
a
2
shab.
kψ
1
k
C(R)
a ku
1
k
C(
Ω)
a
ò. å. ñóùåñòâîâàíèÿ, åäèíñòâåííîñòè è íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ
y îò èñõîäíûõ äàííûõ x0 è y0 , ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [51, ãë. 2℄.
   Ñóùåñòâóþò, êîíå÷íî, è íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííûå çàäà÷è.Îãðàíè÷èìñÿ
çäåñü ïðèâåäåíèåì ïðèìåðà çàäà÷è, â êîòîðîé îòñóòñòâóåò íåïðåðûâíàÿ
çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò èñõîäíûõ äàííûõ. Ïåðâûé ïðèìåð òàêîãî òèïà
áûë ïîñòðîåí, ïî-âèäèìîìó, ðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Æàêîì Àäàìàðîì
â íà÷àëå 20-ãî ñòîëåòèÿ (ñì. [1℄). Îí ðàññìîòðåë ñëåäóþùóþ çàäà÷ó Êîøè
äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà:
      ∂ 2u ∂ 2u        2                 ∂u
          +     = 0 â R  , u|y=0 = ϕ(x),    |y=0 = ψ(x) â R.         (1.26)
      ∂x2 ∂y 2                           ∂y
    ñëó÷àå, êîãäà óíêöèè ϕ è ψ àíàëèòè÷íû â R, ðåøåíèå u çàäà÷è
Êîøè ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Ýòî âûòåêàåò, íàïðèìåð, èç òåîðåìû Êî-
âàëåâñêîé (ñì. ï. 1.4). Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ϕ = ϕ1 = 0,
ψ = ψ1 (x) = (1/a)sinax, ãäå a = const > 0, ðåøåíèå u çàäà÷è (1.26) èìååò
âèä
                                    1
                          u(x, y) = 2 sinaxshay,                    (1.27)
                                   a
òîãäà êàê ïðè ϕ = ϕ2 = 0, ψ = ψ2 = 0 åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è
(1.26) ÿâëÿåòñÿ óíêöèÿ u ≡ 0. àññìàòðèâàÿ äëÿ êîíêðåòíîñòè ðåøåíèå
u â ïîëîñå Ω = {−∞ < x < ∞, 0 < y < b}, b > 0, óñëîâèìñÿ îöåíèâàòü
îòêëîíåíèÿ íà÷àëüíûõ äàííûõ è ðåøåíèé ñîîòâåòñòâåííî â íîðìàõ ïðî-
ñòðàíñòâ C(R) è C(Ω), ãäå Ω = {−∞ < x < ∞, 0 ≤ y ≤ b}. Ïîñêîëüêó ïî
îïðåäåëåíèþ
             kψkC(R) = sup |ψ(x)|, kukC(Ω) = sup |u(x, y)|,
                        x∈R                   (x,y)∈Ω
òî èìååì
                                                       1        1
        kψ1 − ψ2kC(R) = kψ1kC(R) ≡ sup |ψ1 (x)| = sup | sinax| = ,
                                   x∈R            x∈R a         a
                                                 1             1
   ku1 − u2kC(Ω) = ku1kC(Ω) = sup |u1(x, y)| =    2
                                                    sup shay = 2 shab.
                              (x,y)∈Ω            a y∈[0,b]    a
Îòñþäà âèäíî, ÷òî âåëè÷èíà kψ1 kC(R) ìîæåò áûòü ñäåëàíà ñêîëü óãîäíî
ìàëîé ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ a.  òî æå âðåìÿ âåëè÷èíà ku1 kC(Ω) , íàîáî-
ðîò, ìîæåò áûòü ñäåëàíà ñêîëü óãîäíî áîëüøîé ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ a.
Ýòî îçíà÷àåò íåóñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé çàäà÷è (1.26).
Îòñþäà âûòåêàåò ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ 1.1 íåêîððåêòíîñòü çàäà÷è Êîøè äëÿ
óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà.
   Ïîíÿòèå êîððåêòíî ïîñòàâëåííîé çàäà÷è áûëî ââåäåíî â 1923 ã. Æàêîì
Àäàìàðîì, êîòîðûé âûñêàçàë ñâîþ òî÷êó çðåíèÿ î òîì, ÷òî âñÿêàÿ ìàòåìà-
òè÷åñêàÿ çàäà÷à, îòâå÷àþùàÿ êàêîé-ëèáî èçè÷åñêîé çàäà÷å, äîëæíà áûòü

                                    103

Страницы