Классические методы математической физики - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u f
L
u f U
u F f
U F k · k
U
k · k
F
U
u
kuk u
kuk ≥ 0 ∀u ∈ U kuk = 0 u = 0
kλuk = |λ|kuk ∀u ∈ U λ ∈ R ku
1
+ u
2
k ≤ ku
1
k + ku
2
k ∀u
1
, u
2
∈ U
{u
n
} ∈ U
ε > 0 N = N(ε)
ku
n+p
− u
n
k < ε ∀n ≥ N p
{u
n
}
U
N {0, 1, ...}
N
+
{1, 2, ...}
α = (α
1
, α
2
, ..., α
n
) ∈ N
n
α
i
∈ N f
D
α
f |α| = α
1
+...+α
n
D
α
f(x) ≡
∂
|α|
f(x
1
, x
2
, ...x
n
)
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
...∂x
α
n
n
.
Ω R
n
Γ
C
m
(Ω) m ∈ N f : Ω → R m
Ω m = 0 C(Ω) = C
0
(Ω)
Ω C
∞
(Ω)
f : Ω → R Ω
C
m
(Ω) m ∈ N C
∞
(Ω) C
m
(Ω)
C
∞
(Ω) ≤ m
Ω
Ω C
m
(Ω)
kfk
C
m
(
Ω)
=
m
X
k=0
sup
|α|=k
sup
x∈Ω
|D
α
f(x)|.
Çäåñü u  íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ (ëèáî âåêòîð-óíêöèÿ), f  çàäàííàÿ óíê-
öèÿ (ëèáî âåêòîð-óíêöèÿ), L  äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, êîòîðûé
ñèìâîëè÷åñêè ïîêàçûâàåò, êàêèå äåéñòâèÿ íóæíî ïðîäåëàòü ñ óíêöèåé
u, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðàâóþ ÷àñòü f , U  ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì èùåò-
ñÿ ðåøåíèå u, F  ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò f . Ïðîñòðàíñòâà
U è F îáû÷íî ìîæíî ñ÷èòàòü íîðìèðîâàííûìè ñ íîðìàìè k · kU è k · kF
ñîîòâåòñòâåííî.
   Íàïîìíèì, ÷òî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî U íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì,
åñëè êàæäîìó åãî ýëåìåíòó u ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå âåùåñòâåí-
íîå ÷èñëî kuk (íîðìó u) òàê, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå òðè óñëîâèÿ:
 1) kuk ≥ 0 ∀u ∈ U , kuk = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà u = 0;
 2) kλuk = |λ|kuk ∀u ∈ U , λ ∈ R; 3) ku1 + u2 k ≤ ku1 k + ku2 k ∀u1 , u2 ∈ U .
   Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {un} ∈ U íàçûâàþò óíäàìåíòàëüíîé, åñëè äëÿ
ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî kun+p − unk < ε ∀n ≥ N è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà p .
   Íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè â íåì âñÿêàÿ
óíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {un } õîäèòñÿ ê ýëåìåíòó èç ïðî-
ñòðàíñòâà U . Ïîëíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ áàíàõîâûì
ïðîñòðàíñòâîì.
   Ïðèâåäåì ïðèìåðû íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ. Ïóñòü N={0, 1, ...} (ëè-
áî N+ ={1, 2, ...}) îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ (ëèáî
âñåõ öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ) ÷èñåë. ×åðåç α = (α1 , α2 , ..., αn) ∈ Nn îáîçíà-
÷èì ìóëüòèèíäåêñ, ò. å. âåêòîð ñ êîìïîíåíòàìè αi ∈ N. Äëÿ óíêöèè f áó-
äåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Dα f ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà |α| = α1 +... +αn
âèäà
                                    ∂ |α| f (x1, x2, ...xn)
                         Dα f (x) ≡                         .
                                     ∂xα1 1 ∂xα2 2 ...∂xαnn
Ïóñòü Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn ñ ãðàíèöåé Γ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
C m(Ω), m ∈ N, ìíîæåñòâî âñåõ óíêöèé f : Ω → R, m ðàç íåïðåðûâíî
äèåðåíöèðóåìûõ â Ω. Ïðè m = 0 èìååì ïðîñòðàíñòâî C(Ω) = C 0 (Ω),
ñîñòîÿùåå èç íåïðåðûâíûõ â Ω óíêöèé. ×åðåç C ∞(Ω) îáîçíà÷èì ïðî-
ñòðàíñòâî óíêöèé f : Ω → R, áåñêîíå÷íî äèåðåíöèðóåìûõ â Ω. ×åðåç
C m(Ω), m ∈ N (ëèáî C ∞ (Ω)) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî óíêöèé èç C m(Ω) (ëè-
áî C ∞ (Ω)), âñå ïðîèçâîäíûå êîòîðûõ ïîðÿäêà ≤ m (ëèáî ëþáîãî ïîðÿäêà)
äîïóñêàþò íåïðåðûâíîå ïðîäîëæåíèå íà Ω.
   Èçâåñòíî [28℄, ÷òî â ñëó÷àå îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω ïðîñòðàíñòâî C m(Ω)
ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûì è, áîëåå òîãî, áàíàõîâûì ïî íîðìå
                                    m
                                    X
                     kf kC m(Ω) =       sup sup |Dα f (x)|.             (1.25)
                                              x∈Ω
                                    k=0 |α|=k

                                        101

Страницы