Классические методы математической физики - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u U
0
u
U
0
U
0
u : Ω → R
t
Ω ⊂ R
n
f : Ω → R x
0
= (x
0
1
x
0
2
··· x
0
n
) ∈ Ω
f(x) =
X
|α|≥0
c
α
α!
(x − x
0
)
α
.
α = (α
1
, ···, α
n
)
α! = α
1
!α
2
! ···α
n
! (x−x
0
)
α
= (x
1
−x
0
1
)
α
1
(x
2
−x
0
2
)
α
2
···(x
n
−
x
0
n
)
α
n
f Ω
Ω
u x
0
B
r
(x
0
)
øåíèå u èç ìíîæåñòâà U0 , ñîîòâåòñòâóþò áåñêîíå÷íî ìàëûå âàðèàöèè
ðåøåíèÿ u.
     Ìíîæåñòâî U0 ïîëó÷èëî íàçâàíèå ìíîæåñòâà êîððåêòíîñòè çàäà÷è. Íåïðå-
ðûâíàÿ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò èñõîäíûõ äàííûõ äëÿ çàäà÷è, ïîñòàâ-
ëåííîé êîððåêòíî ïî Òèõîíîâó, âîññòàíàâëèâàåòñÿ ñóæåíèåì ìíîæåñòâà
äîïóñòèìûõ èñõîäíûõ äàííûõ, ïîýòîìó òàêèå çàäà÷è íàçûâàþòñÿ òàêæå
óñëîâíî-êîððåêòíûìè. Òàê, äëÿ òîãî, ÷òîáû ñäåëàòü ðàññìîòðåííóþ âûøå
çàäà÷ó Êîøè (1.26) óñëîâíî-êîððåêòíîé, äîñòàòî÷íî âûáðàòü â êà÷åñòâå
ìíîæåñòâà U0 ìíîæåñòâî óíêöèé u : Ω → R, îãðàíè÷åííûõ ïî ìîäó-
ëþ íåêîòîðîé êîíñòàíòîé. Ñîîòâåòñòâóþùåå àïðèîðíîå óñëîâèå íà ðåøåíèå
äàííîé çàäà÷è âìåñòå ñ óñëîâèåì åãî ñóùåñòâîâàíèÿ, åñòåñòâåííî, ïðèâîäèò
ê íåêîòîðûì îãðàíè÷åíèÿì íà ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ èñõîäíûõ äàííûõ â
ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å Êîøè. Áîëåå ïîäðîáíî î êîððåêòíûõ ïîñòàíîâêàõ
çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà è ìåòîäàõ ðåøåíèÿ ìîæíî ïðî÷èòàòü
â êíèãå [27℄.
     Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ðàçðàáîòàííàÿ â òðóäàõ À.Í. Òèõîíîâà, Ì.Ì.
Ëàâðåíòüåâà è Â.Ê. Èâàíîâà òåîðèÿ óñëîâíî-íåêîððåêòíûõ çàäà÷ íå äà-
¼ò îòâåòà íà âñå âîïðîñû, âîçíèêàþùèå ïðè èññëåäîâàíèè íåêîððåêòíûõ
çàäà÷. Îäíàêî èç íå¼ ñëåäóåò âàæíûé âûâîä î òîì, ÷òî óêàçàííûå çàäà-
÷è íå ÿâëÿþòñÿ áåçíàä¼æíî ïëîõèìè, à ìîãóò äîïóñêàòü âïîëíå ðàçóìíóþ
èçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.
     1.4. Òåîðåìà Êîâàëåâñêîé. Â ýòîì ïóíêòå ìû âûäåëèì äîâîëüíî îá-
ùèé êëàññ çàäà÷, à èìåííî: çàäà÷ Êîøè äëÿ òàê íàçûâàåìûõ íîðìàëüíûõ
îòíîñèòåëüíî âðåìåíè t ñèñòåì äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðîèçâîëü-
íîãî ïîðÿäêà, äëÿ êîòîðûõ ðåøåíèå ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Íà÷íåì ñ
ââåäåíèÿ íåêîòîðûõ îïðåäåëåíèé. Ïóñòü Ω ⊂ Rn -ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü.
     1) Ôóíêöèÿ f : Ω → R íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â òî÷êå x0 = (x01, x02 ,
· · ·, x0n ) ∈ Ω, åñëè â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè îíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ
â âèäå ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ ñòåïåííîãî ðÿäà
                                      X cα
                              f (x) =       (x − x0 )α .               (1.28)
                                         α!
                                        |α|≥0

Çäåñü α = (α1 , · · · , αn )  ìóëüòèèíäåêñ, ïðè÷åì äëÿ êðàòêîñòè èñïîëüçóþò-
ñÿ îáîçíà÷åíèÿ α! = α1 !α2 ! · · · αn !, (x − x0)α = (x1 − x01 )α1 (x2 − x02 )α2 · · · (xn −
x0n )αn . Åñëè óíêöèÿ f àíàëèòè÷íà â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè Ω, òî ãîâîðÿò,
÷òî îíà àíàëèòè÷íà â îáëàñòè Ω.
     Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà àíàëèòè÷åñêèõ óíêöèé. Ïåðâîå ñâîéñòâî
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ðÿä (1.28) ÿâëÿåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì Òåéëîðà
óíêöèè u, àíàëèòè÷åñêîé â òî÷êå x0 . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñâîé-
ñòâà äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì èçâåñòíûì àêòîì, ÷òî ñòåïåííîé
ðÿä âíóòðè øàðà Br (x0 ), öåëèêîì ëåæàùåãî â îáëàñòè åãî ñõîäèìîñòè,

                                            105

Страницы