Классические методы математической физики - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(x
0
, t
0
)
(u
1
, u
2
, ..., u
N
)
(x
0
, t
0
)
u
i
(x, t) =
X
α
0
≥0,|α|≥0
D
α
0
t
D
α
x
u
i
(x
0
, t
0
)
α
0
!α!
(t −t
0
)
α
0
(x −x
0
)
α
, i = 1, 2, ..., N.
D
α
0
t
D
α
x
u
i
(x
0
, t
0
)
(x
0
, t
0
)
t = t
0
R
n
òî çàäà÷à Êîøè (1.29), (1.30) èìååò àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå â íåêîòîðîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, t0 ) è ïðèòîì åäèíñòâåííîå â êëàññå àíàëèòè÷å-
ñêèõ óíêöèé.
   Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà îòûñêàíèè ðåøåíèÿ (u1, u2 , ..., uN )
â îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0 , t0 ) â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà:
             X Dα0 Dα ui(x0, t0)
                    t     x
 ui(x, t) =                          (t − t0)α0 (x − x0)α , i = 1, 2, ..., N. (1.31)
                         α0 !α!
            α0 ≥0,|α|≥0

Êîýèöèåíòû Dtα0 Dxα ui(x0 , t0 ) ýòîãî ðÿäà îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëî-
âèé (1.30) è óðàâíåíèé (1.29). Îñòàåòñÿ äîêàçàòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü
ðÿäîâ (1.31) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0, t0 ), äëÿ ÷åãî èñïîëüçóåòñÿ
ìåòîä ìàæîðàíò. Åäèíñòâåííîñòü ïîñòðîåííîãî ðåøåíèÿ â êëàññå àíàëè-
òè÷åñêèõ óíêöèé ñëåäóåò èç òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ
óíêöèé.
   Òåîðåìà Êîâàëåâñêîé íîñèò óíäàìåíòàëüíûé õàðàêòåð, ïîñêîëüêó îíà
óêàçûâàåò, êàê íàäî çàäàâàòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ðàññìàòðèâàå-
ìîé ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò âûäåëèòü
å¼ åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. îëü ýòèõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé äëÿ íîðìàëü-
íîé ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà (1.29) èãðàþò óñëîâèÿ
Êîøè, çàäàâàåìûå ïðè t = t0 . Ïîçæå ⠟ 4 ìû åùå ðàç îáñóäèì àíàëîãè÷-
íûå âîïðîñû íà ïðèìåðå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà. Òàì
ìû ââåäåì óíäàìåíòàëüíîå ïîíÿòèå õàðàêòåðèñòèêè äëÿ ðàññìàòðèâàåìî-
ãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è, îñíîâûâàÿñü íà òåîðåìå Êîâàëåâñêîé,
ïîêàæåì, ÷òî äàííûå Êîøè, âûäåëÿþùèå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíå-
íèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, ìîæíî çàäàâàòü è íà ïðîèçâîëüíîé (àíàëèòè÷åñêîé)
ïîâåðõíîñòè â Rn , íå ÿâëÿþùåéñÿ õàðàêòåðèñòèêîé.
   Òåîðåìà Êîâàëåâñêîé ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ñàìûõ êðàñèâûõ òåîðåì òåîðèè
óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.  ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ïîçíàêîìèâ-
øèñü ñ åå ïîëíûì äîêàçàòåëüñòâîì ïî êíèãàì È. . Ïåòðîâñêîãî [41℄ è Â.Ï.
Ìèõàéëîâà [34℄. Ýòî åñòåñòâåííî, ïîñêîëüêó îíà áûëà äîêàçàíà ìîëîäîé
òàëàíòëèâîé æåíùèíîé  íàøåé ñîîòå÷åñòâåííèöåé Ñîüåé Êîâàëåâñêîé â
1899ã. Îäíàêî óêàçàííàÿ òåîðåìà, íåñìîòðÿ íà åå äîñòàòî÷íî îáùèé õàðàê-
òåð, íå ðåøàåò ïîëíîñòüþ âîïðîñà î êîððåêòíîñòè ïîñòàíîâêè çàäà÷è Êîøè
äàæå äëÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Äåéñòâè-
òåëüíî, ýòà òåîðåìà ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøå-
íèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è Êîøè ëèøü â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè,
èëè, êàê ãîâîðÿò, â ìàëîì. Â òî æå âðåìÿ ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü
îáû÷íî òðåáóåòñÿ óñòàíîâèòü âî âñåé ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè, ò. å., êàê
ãîâîðÿò, â öåëîì. Êðîìå òîãî, â ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ íà÷àëüíûå äàííûå, à
òàêæå êîýèöèåíòû è ïðàâàÿ ÷àñòü, êàê ïðàâèëî, íå ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷å-
ñêèìè óíêöèÿìè, è â ýòèõ ñëó÷àÿõ çàâåäîìî íå ñóùåñòâóåò àíàëèòè÷åñêî-
ãî ðåøåíèÿ. Íàêîíåö, äàæå åñëè àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé

                                        107

Страницы