Классические методы математической физики - 109 стр.

âàòüñÿ îò òðåáîâàíèÿ ãëàäêîñòè ðåøåíèÿ âíóòðè îáëàñòè èëè íà ãðàíèöå
è ââîäèòü òàê íàçûâàåìîå îáîáùåííîå ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è
ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.
   Ñóùåñòâóþò äâà îñíîâíûõ ïîäõîäà ê ââåäåíèþ îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ.
 ïåðâîì ðàññìàòðèâàåìîå äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå óìíîæàåòñÿ íà
òåñòîâóþ óíêöèþ v èç íåêîòîðîãî ïðîñòðàíñòâà óíêöèé V , òåñíî ñâÿ-
çàííîãî ñ èçó÷àåìîé çàäà÷åé, è äàëåå ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå èíòåãðèðó-
åòñÿ ïî ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ îðìóëû èíòåãðèðî-
âàíèÿ ïî ÷àñòÿì ñ èñïîëüçîâàíèåì êðàåâûõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèé âîçíèêà-
åò èíòåãðàëüíîå òîæäåñòâî, ñîäåðæàùåå èñêîìóþ óíêöèþ u è íåêîòîðûå
åå ïðîèçâîäíûå. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïîðÿäîê âõîäÿùèõ â ýòî òîæäåñòâî
ñòàðøèõ ïðîèçâîäíûõ îò óíêöèè u ìåíüøå ïîðÿäêà äèåðåíöèàëüíîãî
óðàâíåíèÿ. Ýòî ïîçâîëÿåò îñëàáèòü òðåáîâàíèÿ íà ãëàäêîñòü óíêöèè u,
êîòîðàÿ è ïðèíèìàåòñÿ çà îáîáùåííîå ðåøåíèå. Îïèñàííûé ïîäõîä ê îïðå-
äåëåíèþ îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ, íàïðèìåð, â [13, 28, 32, 34℄.
Äðóãîé ïîäõîä ê ââåäåíèþ îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ, îñíîâàííûé íà ïîíÿòèè
îáîáùåííîé óíêöèè, èçëàãàåòñÿ â [11℄.
   Íå îñòàíàâëèâàÿñü äåòàëüíî íà îáñóæäåíèè óêàçàííûõ ïîäõîäîâ, îòìå-
òèì ëèøü, ÷òî öåëü ââåäåíèÿ îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü äîñòèã-
íóòîé, åñëè â îòñóòñòâèå ñóùåñòâîâàíèÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óäàåòñÿ
äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå, åäèíñòâåííîñòü è óñòîé÷èâîñòü îáîáùåííîãî ðå-
øåíèÿ. Âàæíî òàêæå óñòàíîâèòü, ÷òî ãëàäêîñòü îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ ðàñ-
òåò ñ ðîñòîì ãëàäêîñòè èñõîäíûõ äàííûõ. Èìåííî ýòè âîïðîñû èññëåäóþòñÿ
â ðóêîâîäñòâàõ ïî ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêå (ñì. öèòèðóåìûå
êíèãè). Ìû æå â ýòîé êíèãå áóäåì ðàññìàòðèâàòü, â îñíîâíîì, êëàññè÷å-
ñêèå ïîñòàíîâêè çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè è èññëåäîâàòü âîïðîñû ñó-
ùåñòâîâàíèÿ, åäèíñòâåííîñòè è óñòîé÷èâîñòè êëàññè÷åñêèõ ðåøåíèé. Áî-
ëåå êîíêðåòíî, ìû áóäåì çàíèìàòüñÿ èññëåäîâàíèåì êîððåêòíîñòè îñíîâ-
íûõ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ëèíåéíûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè è èçó÷åíèåì êà÷åñòâåííûõ ñâîéñòâ ðåøåíèé è
êëàññè÷åñêèõ ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ òî÷íûõ èëè ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé
ýòèõ çàäà÷. Åùå îäíîé öåëüþ áóäåò ÿâëÿòüñÿ âûâîä è àíàëèç ÿâíûõ ïðåä-
ñòàâëåíèé ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ â âèäå èíòåãðàëüíûõ îðìóë,
ëèáî ðÿäîâ Ôóðüå, ëèáî èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.

  Ÿ2. Óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ 1-ãî ïîðÿäêà
    ãë. 1 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðèìåíåíèå ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëè-
ðîâàíèÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññîâ òåïëî- è ìàññîïåðåíîñà â íåêîòîðîé
îáëàñòè Ω ïðîñòðàíñòâà R3 ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè íàõîæäåíèÿ ðåøå-
íèÿ ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ 1-ãî ïîðÿäêà:
                       ∂u
                  Lu ≡     + a · gradu = f â Ω × (0, T ].          (2.1)
                       ∂t
                                  109