Классические методы математической физики - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u a f Q = Ω × (0, T ]
u
a · gradu = f Ω,
∂u
∂t
+
∂u
∂x
= 0.
u
Q (x, t)
Q
(x, t) ∈ Q
(x, t)
x − t = c c
dx
dt
= 1.
c
c x − t = c
Çäåñü u  èñêîìàÿ óíêöèÿ, a è f  çàäàííûå â îáëàñòè Q = Ω × (0, T ]
óíêöèè. Ïåðâàÿ èç íèõ èìååò ñìûñë ñêîðîñòè äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè, à
âòîðàÿ îïèñûâàåò îáúåìíóþ ïëîòíîñòü âåëè÷èíû u.  ñîîòâåòñòâèè ñ è-
çè÷åñêèì ñìûñëîì óðàâíåíèå (2.1) îïèñûâàåò êîíâåêòèâíûé ïåðåíîñ íåêî-
òîðîé ñóáñòàíöèè (ïëîòíîñòè, ñîëåíîñòè, òåìïåðàòóðû è ò. ä.) âäîëü òðà-
åêòîðèé ÷àñòèö äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè â îòñóòñòâèå ýåêòîâ äèóçèè.
Ïîýòîìó íà óðàâíåíèå (2.1) ÷àñòî ññûëàþòñÿ êàê íà óðàâíåíèå ïåðåíîñà.
 ýòîì ïàðàãðàå ìû èññëåäóåì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
(2.1) è åãî ñòàöèîíàðíîãî àíàëîãà
                          a · gradu = f   â Ω,                       (2.2)
à òàêæå óêàæåì, êàê íàäî çàäàâàòü äîïîëíèòåëüíûå (íà÷àëüíûå è êðàåâûå)
óñëîâèÿ, âûäåëÿþùèå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.1) ëèáî (2.2).
Íà÷íåì ðàññìîòðåíèå ñ ïðîñòåéøåãî îäíîìåðíîãî àíàëîãà óðàâíåíèÿ (2.1).
  2.1. Îäíîìåðíîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûì êîýèöèåíòîì. Óñëî-
âèÿ Êîøè.   àññìîòðèì ïðîñòåéøåå (îäíîìåðíîå ïî ïðîñòðàíñòâåííûì
ïåðåìåííûì) óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà
                              ∂u ∂u
                                +   = 0.                             (2.3)
                              ∂t ∂x
Ïîñòàâèì çàäà÷ó: íàéòè îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3). Ïîä ðåøåíèåì u
óðàâíåíèÿ (2.3) â íåêîòîðîé îáëàñòè Q ïëîñêîñòè (x, t) áóäåì ïîíèìàòü
äèåðåíöèðóåìóþ â îáëàñòè Q óíêöèþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ â êàæäîé
òî÷êå (x, t) ∈ Q óðàâíåíèþ (2.3). ×òî êàñàåòñÿ òåðìèíà îáùåå ðåøåíèå,
òî, êàê è â òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîä íèì
áóäåì ïîíèìàòü íåêîòîðîå ñåìåéñòâî ðåøåíèé (çàâèñÿùåå îò îäíîãî èëè
íåñêîëüêèõ ïàðàìåòðîâ), èç êîòîðîãî ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáîå ÷àñòíîå ðå-
øåíèå óðàâíåíèÿ (2.3), óäîâëåòâîðÿþùåå îïðåäåëåííîìó êëàññó óñëîâèé.
å÷ü îá ýòèõ óñëîâèÿõ ïîéäåò íèæå.
   ×òîáû ïîëó÷èòü îðìóëó îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.3), ïðîäåëàåì,
ñëåäóÿ [14, .55℄, ñëåäóþùåå ïîñòðîåíèå. Ïðîâåäåì íà ïëîñêîñòè (x, t) ïðÿ-
ìûå x − t = c, ãäå c  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ (ñì. ðèñ. 2.1à). Ëþáóþ
òàêóþ ïðÿìóþ áóäåì íàçûâàòü õàðàêòåðèñòèêîé óðàâíåíèÿ (2.3). Ìû ïî-
êà íå äàåì ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ ýòîãî âàæíîãî ïîíÿòèÿ, íî âåðíåìñÿ ê
íåìó â êîíöå ýòîãî ïóíêòà. ßñíî, ÷òî äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå õàðàê-
òåðèñòèê èìååò âèä
                                 dx
                                    = 1.                             (2.4)
                                 dt
   Çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ c êàê áû íóìåðóþò ýòè õàðàêòåðèñòèêè. Ïîýòîìó
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñòîÿííàÿ c â óðàâíåíèè ïðÿìîé x − t = c ÿâëÿåò-
ñÿ íîìåðîì ïðÿìîé ñåìåéñòâà õàðàêòåðèñòèê, çàäàâàåìûõ óðàâíåíèåì

                                   110

Страницы