Классические методы математической физики - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x [α, β]
ϕ
u
ϕ(x) [α, β]
u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [α, β].
[α, β]
t = 0
Φ
ϕ u(x, t) = ϕ(x −t)
Q
(x, t) x, t ϕ(x −t) ϕ
Q Π[α, β]
[α, β] x u
Π[α, β]
Π[α, β] u
1
u
2
u = u
1
− u
2
u(x, 0) = 0, x ∈ [α, β].
u
u (x
0
, 0)
Π[α, β] u
Π[α, β] u(x, t) ≡ 0
Π[α, β]
ϕ [α
′
, β
′
] ⊃
[α, β]
u Π
′
=
áóäåì ññûëàòüñÿ íèæå íà îðìóëó (2.5) êàê íà îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(2.3). ×òîáû ýòî óòâåðæäåíèå áûëî êîððåêòíûì, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî
ñ ïîìîùüþ îðìóëû (2.5) ìîæíî ïîëó÷èòü ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3),
óäîâëåòâîðÿþùåå äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì, â êà÷åñòâå êîòîðûõ áóäåì èñ-
ïîëüçîâàòü óñëîâèÿ Êîøè.
   ×òîáû èõ ñîðìóëèðîâàòü, âûáåðåì ñíà÷àëà íà îñè x îòðåçîê [α, β] (ñì.
ðèñ. 2.1a) è çàäàäèì íà ýòîì îòðåçêå äèåðåíöèðóåìóþ óíêöèþ ϕ. Ïî-
ñòàâèì çàäà÷ó: íàéòè óíêöèþ u, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (2.3) è
ïðèíèìàþùóþ çàäàííûå çíà÷åíèÿ ϕ(x) íà îòðåçêå [α, β], ò. å. óäîâëåòâîðÿ-
þùóþ óñëîâèþ
                        u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [α, β].                 (2.6)
Óñëîâèå (2.6) è íàçûâàþò (ïî èñòîðè÷åñêèì ïðè÷èíàì) óñëîâèåì Êîøè
äëÿ óðàâíåíèÿ (2.3) íà îòðåçêå [α, β], à ñàìó çàäà÷ó (2.3), (2.6)  çàäà÷åé
Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (2.3). Ïîñêîëüêó óñëîâèå (2.6) çàäàíî ïðè t = 0, òî
ýòî óñëîâèå òàêæå íàçûâàþò íà÷àëüíûì óñëîâèåì äëÿ óðàâíåíèÿ (2.3).
   Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî åñëè â êà÷åñòâå óíêöèè Φ â (2.5) âûáðàòü íà÷àëü-
íóþ óíêöèþ ϕ, òî ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì óíêöèÿ u(x, t) = ϕ(x − t)
îïðåäåëÿåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (2.6). Óêà-
çàííîå ðåøåíèå áóäåò îïðåäåëåíî â îáëàñòè Q, ñîäåðæàùåé âñå òàêèå òî÷êè
(x, t) ïëîñêîñòè x, t, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíî çíà÷åíèå ϕ(x − t) óíêöèè ϕ.
îëü òàêîé îáëàñòè Q èãðàåò õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ïîëîñà Π[α, β], îáðàçî-
âàííàÿ âñåìè õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ (2.3), ïåðåñåêàþùèìè îòðåçîê
[α, β] îñè x (ñì. ðèñ. 2.1à). Áîëåå òîãî, ðåøåíèå u çàäà÷è (2.3), (2.6) åäèí-
ñòâåííî â ïîëîñå Π[α, β].
   Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà åäèíñòâåííîñòè âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì îò ïðîòèâ-
íîãî, êîòîðûé îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ïðè äîêàçàòåëüñòâå åäèíñòâåííîñòè
ðåøåíèé çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Ñëåäóÿ ýòîìó ìåòîäó, ïðåäïîëî-
æèì, ÷òî â ïîëîñå Π[α, β] ñóùåñòâóåò äâà ðåøåíèÿ u1 è u2 çàäà÷è (2.3),
(2.6). Òîãäà â ñèëó ëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ (2.3) èõ ðàçíîñòü u = u1 − u2
áóäåò ïî-ïðåæíåìó ÿâëÿòüñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.3), íî óäîâëåòâîðÿòü
íóëåâîìó óñëîâèþ âèäà

                          u(x, 0) = 0, x ∈ [α, β].                      (2.7)

ßñíî, ñ îäíîé ñòîðîíû, ÷òî óíêöèÿ u, áóäó÷è ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.3),
ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå âäîëü êàæäîé õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ
(2.3). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñèëó (2.7) u ðàâíà íóëþ â òî÷êå (x0 , 0) ëþáîé
õàðàêòåðèñòèêè, ëåæàùåé â ïîëîñå Π[α, β]. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî u íåîáõîäè-
ìî ðàâíà íóëþ íà êàæäîé õàðàêòåðèñòèêå èç ïîëîñû Π[α, β], ò. å. u(x, t) ≡ 0
â Π[α, β].
   Åñëè ïðîäîëæèòü íà÷àëüíóþ óíêöèþ ϕ íà áîëüøèé îòðåçîê [α′ , β ′] ⊃
[α, β], òî ìû ñìîæåì ïîñòðîèòü ðåøåíèå u â áîëåå øèðîêîé ïîëîñå Π′ =

                                     112

Страницы