Классические методы математической физики - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

(x
s
, t
s
) ∈ Γ
x − t = x
s
− t
s
= ξ(s) − η(s).
x − t = c
c = ξ(s) − η(s).
s Γ
c (ξ
s
, η
s
)
ϕ ∈ C
1
(Γ), Γ ∈ C
1
( ξ η ∈ C
1
[s
1
, s
2
]), ξ
′
(s)−η
′
(s) > 0 ∀s ∈ [s
1
, s
2
].
Γ
Π
Γ
c
′
s
(s) ≡ ξ
′
(s) − η
′
(s) > 0 ∀s ∈ [s
1
, s
2
] s
[s
1
, s
2
] c
[c
1
, c
2
]
c
1
= ξ(s
1
) −η(s
1
) c
2
= ξ(s
2
) −η(s
2
) c
i
Γ
s
i
i = 1, 2 s
˜s : [c
1
, c
2
] → [s
1
, s
2
]
˜s(c) = s ∀c ∈ [c
1
, c
2
]
˜s ∈ C
1
[c
1
, c
2
]
Π
Γ
u
u(x, t) = ϕ ◦ ˜s(x − t) ≡ ϕ[˜s(x − t)].
u
òî÷êó (xs, ts ) ∈ Γ õàðàêòåðèñòèêó. Åå óðàâíåíèå, î÷åâèäíî, èìååò âèä
                            x − t = xs − ts = ξ(s) − η(s).                            (2.10)
Ñðàâíèâàÿ ýòî óðàâíåíèå ñ îáùèì óðàâíåíèåì õàðàêòåðèñòèêè x − t = c,




                 (à)                                                    (á)
                                          èñ. 2.2


ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ
                                    c = ξ(s) − η(s).                                  (2.11)
Îíî ñâÿçûâàåò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà s êðèâîé Γ ñ ñîîòâåòñòâóþùèì íîìå-
ðîì c õàðàêòåðèñòèêè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (ξs , ηs). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
(i) ϕ ∈ C 1 (Γ), Γ ∈ C 1 ( ò.å. ξ è η ∈ C 1 [s1 , s2 ]), ξ ′ (s)−η ′ (s) > 0 ∀s ∈ [s1 , s2 ].
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî èìåííî ïîñëåäíåå óñëîâèå â (i) îáåñïå÷èâàåò íàøå ïðåä-
ïîëîæåíèå î òîì, ÷òî êðèâàÿ Γ ïåðåñåêàåòñÿ ñ êàæäîé èç õàðàêòåðèñòèê,
ëåæàùåé â ïîëîñå ΠΓ, ëèøü â îäíîé òî÷êå.  ñèëó ýòîãî óñëîâèÿ èìååì
c′s (s) ≡ ξ ′(s) − η ′ (s) > 0 ∀s ∈ [s1, s2]. Ïîýòîìó, êîãäà ïàðàìåòð s ïðîáåãàåò
èíòåðâàë [s1 , s2 ], îòâå÷àþùèé åìó â ñèëó (2.11) íîìåð c, ìîíîòîííî âîç-
ðàñòàÿ, ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó óñëîâèþ â (i), ïðîáåãàåò èíòåðâàë [c1 , c2 ], ãäå
c1 = ξ(s1) − η(s1 ), c2 = ξ(s2 ) − η(s2 ). ßñíî, ÷òî ci îòâå÷àåò õàðàêòåðèñòèêå,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ãðàíè÷íóþ òî÷êó êðèâîé Γ, ñîîòâåòñòâóþùóþ çíà÷åíèþ
si , i = 1, 2, ïàðàìåòðà s.
     Îáîçíà÷èì ÷åðåç s̃ : [c1 , c2 ] → [s1 , s2 ] óíêöèþ, îáðàòíóþ ê óíêöèè
(2.11), ñ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî s̃(c) = s ∀c ∈ [c1 , c2 ]. Èç ñâîéñòâ
îáðàòíûõ óíêöèé è óñëîâèé (i) âûòåêàåò, ÷òî s̃ ∈ C 1 [c1 , c2 ]. àññìîòðèì â
ïîëîñå ΠΓ óíêöèþ u, äåéñòâóþùóþ ïî îðìóëå
                         u(x, t) = ϕ ◦ s̃(x − t) ≡ ϕ[s̃(x − t)].                      (2.12)
Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà óíêöèè u, ñïðàâåäëèâûå ïðè âûïîëíåíèè
(i):

                                            114

Страницы