Классические методы математической физики - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Γ
2
Γ
x − t = c
′
Γ
′
ϕ Γ
1
Γ
2
ϕ
1
ϕ
2
u
1
u
2
Π
Γ
1
Π
Γ
2
u
1
(x, t) = ϕ
1
(x − t), (x, t) ∈ Π
Γ
1
, u
2
(x, t) = ϕ
2
(x − t) , (x, t) ∈ Π
Γ
2
.
Π
Γ
1
Π
Γ
2
u
1
Π
Γ
1
u|
Γ
1
= ϕ
1
u
2
Π
Γ
2
u|
Γ
2
= ϕ
2
u
Π
Γ
u
1
u
2
x −t = c
′
u(x, t) =
u
1
(x, t), (x, t) ∈ Π
Γ
1
,
u
2
(x, t), (x, t) ∈ Π
Γ
2
.
u
Γ
′
Γ ϕ
Π
Γ
x −t = c
′
u
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
1
(s
′
1
) = ϕ
2
(s
′
2
),
dϕ
1
(s
′
1
)
ds
=
dϕ
2
(s
′
2
)
ds
.
ñåêàþùèìè ó÷àñòîê Γ2 êðèâîé Γ. ßñíî, ÷òî îáå ïîëîñû ðàçäåëÿþòñÿ ìåæ-
äó ñîáîé îáùåé õàðàêòåðèñòèêîé x − t = c′ , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ó÷àñòîê Γ′
(ðèñ. 2.2á). Îáîçíà÷èì ñóæåíèÿ íà÷àëüíîé óíêöèè ϕ íà Γ1 è Γ2 ÷åðåç ϕ1
è ϕ2 ñîîòâåòñòâåííî.
   àññìîòðèì óíêöèè u1 è u2 , îïðåäåëÿåìûå â ΠΓ1 è ΠΓ2 ñîîòíîøåíèÿìè:

   u1(x, t) = ϕ1(x − t), (x, t) ∈ ΠΓ1 , u2(x, t) = ϕ2(x − t), (x, t) ∈ ΠΓ2 .
Èç òåîðåìû 2.1, ïðèìåíåííîé ê êàæäîé èç ïîëîñ ΠΓ1 è ΠΓ2 , ñëåäóåò, ÷òî
óíêöèÿ u1 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.3) â ïîëîñå ΠΓ1 óäîâëåòâî-
ðÿþùèì íà÷àëüíîìó óñëîâèþ u|Γ1 = ϕ1 , òîãäà êàê u2 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
óðàâíåíèÿ (2.3) â ïîëîñå ΠΓ2 , óäîâëåòâîðÿþùèì óñëîâèþ u|Γ2 = ϕ2 .
   ×òîáû ïîñòðîèòü ðåøåíèå u èñõîäíîé çàäà÷è (2.3), (2.9) âî âñåé ïîëîñå
ΠΓ , ñêëåèì óíêöèè u1 è u2 íà îáùåé õàðàêòåðèñòèêå x − t = c′ , ïîëàãàÿ
                              
                                 u1(x, t), (x, t) ∈ ΠΓ1 ,
                    u(x, t) =
                                 u2(x, t), (x, t) ∈ ΠΓ2 .

Ïî ïîñòðîåíèþ óíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (2.9), â òîì ÷èñëå è íà
ó÷àñòêå Γ′ êðèâîé Γ â ñèëó íàøåãî ïðåäïîëîæåíèÿ íà óíêöèþ ϕ, à òàêæå
óðàâíåíèþ (2.3) âñþäó â ΠΓ , êðîìå îáùåé õàðàêòåðèñòèêè x − t = c′ , èãðà-
þùåé, òàêèì îáðàçîì, îñîáóþ ðîëü äëÿ çàäà÷è (2.3), (2.9). ×òîáû óíêöèÿ
u óäîâëåòâîðÿëà óðàâíåíèþ (2.3) è íà ýòîé îñîáîé õàðàêòåðèñòèêå, íóæ-
íî ïîòðåáîâàòü îò óíêöèé ϕ1 è ϕ2 , ÷òîáû îíè óäîâëåòâîðÿëè ñëåäóþùèì
äâóì óñëîâèÿì
                                          dϕ1(s′1 ) dϕ2(s′2)
                    ϕ1(s′1) = ϕ2 (s′2),            =         .
                                            ds        ds
Óêàçàííûå óñëîâèÿ ñëóæàò äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ñîîòâåòñòâåííî íåïðåðûâíî-




              (à)                                                (á)
                                     èñ. 2.3



                                          116

Страницы