Классические методы математической физики - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u Π
Γ
(x, t)
Π
Γ
x − t = c [c
1
, c
2
]
˜s(x −t) [s
1
, s
2
] ϕ
u
C
1
(Π
Γ
) Π
Γ
u
u(x
s
, t
s
) = ϕ ◦ ˜s[ξ(s) −η(s)] = ϕ ◦ ˜s(c) = ϕ(s) ∀s ∈ [s
1
, s
2
] ⇒ u|
Γ
= ϕ.
Π
Γ
ϕ Γ
ϕ u
u ∈ C
1
(Π
Γ
) Π
Γ
Γ ∈ C
m
ξ, η ∈ C
m
[s
1
, s
2
] ϕ ∈ C
m
(Γ) m = 2, 3, ..., u ∈ C
m
(Π
Γ
)
ϕ
ϕ Γ
Γ = Γ
1
∪ Γ
′
∪ Γ
2
Γ
1
Γ
2
Γ
′
Γ
s [s
′
1
, s
′
2
] ⊂ [s
1
, s
2
]
ξ
′
(s) − η
′
(s) = 0 ξ(s) − η(s) = ∀s ∈ [s
′
1
, s
′
2
]
Γ
′
Γ
ϕ
Γ
′
ϕ
Γ
′
Π
Γ
Π
Γ
1
Π
Γ
2
Γ
1
Γ
  1) Ôóíêöèÿ u îïðåäåëåíà â ïîëîñå ΠΓ . Äåéñòâèòåëüíî, êîãäà òî÷êà (x, t)
ïðîáåãàåò ïîëîñó ΠΓ , ðàçíîñòü x − t = c ïðîáåãàåò èíòåðâàë [c1 , c2 ], òîãäà
êàê s̃(x − t) ïðîáåãàåò èíòåðâàë [s1 , s2 ], ãäå îïðåäåëåíà óíêöèÿ ϕ.
  2) Ôóíêöèÿ u êàê êîìïîçèöèÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûõ óíêöèé
ïðèíàäëåæèò C 1 (ΠΓ) è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.3) â êàæäîé òî÷êå ΠΓ .
  3) Ôóíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

  u(xs, ts ) = ϕ ◦ s̃[ξ(s) − η(s)] = ϕ ◦ s̃(c) = ϕ(s) ∀s ∈ [s1, s2] ⇒ u|Γ = ϕ.
   Íà îñíîâàíèè ñâîéñòâ 1)3) ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè
óñëîâèé (i) óíêöèÿ (2.12) ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çà-
äà÷è (2.3), (2.9), ïðè÷åì åäèíñòâåííûì â ïîëîñå ΠΓ . Áîëåå òîãî, èç îðìóëû
(2.12) âûòåêàåò, ÷òî ñ ðîñòîì ãëàäêîñòè èñõîäíûõ äàííûõ, ðîëü êîòîðûõ
â äàííîì ñëó÷àå èãðàåò êàê óíêöèÿ ϕ, òàê è ñàìà êðèâàÿ Γ, íà êîòîðîé
çàäàíà óíêöèÿ ϕ, ðàñò¼ò òàêæå è ãëàäêîñòü ðåøåíèÿ u çàäà÷è (2.3), (2.9).
   Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â âèäå òåîðåìû.
   Òåîðåìà 2.1. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (i). Òîãäà êëàññè÷åñêîå ðå-
øåíèå u ∈ C 1 (ΠΓ) çàäà÷è Êîøè (2.3), (2.9) â ïîëîñå ΠΓ ñóùåñòâóåò,
åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé (2.12). Åñëè, áîëåå òîãî, Γ ∈ C m
(ò.å. ξ, η ∈ C m[s1 , s2 ]), à ϕ ∈ C m(Γ), m = 2, 3, ..., òî u ∈ C m(ΠΓ ).
   Çàìå÷àíèå 2.1. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîñëåäíåå óñëîâèå â (i) ÿâëÿåòñÿ
íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.3), (2.9) äëÿ ïðî-
èçâîëüíîé äèåðåíöèðóåìîé óíêöèè ϕ. Åñëè îíî íå âûïîëíÿåòñÿ, òî â
îáùåì ñëó÷àå ðåøåíèå çàäà÷è (2.3), (2.9) íå ñóùåñòâóåò. Òåì íå ìåíåå ìîæ-
íî äîêàçàòü åãî ñóùåñòâîâàíèå ïðè âûïîëíåíèè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëü-
íûõ ïðåäïîëîæåíèé íà ϕ. àññìîòðèì, íàïðèìåð, ñëó÷àé, êîãäà Γ ñîñòîèò
èç òðåõ ó÷àñòêîâ: Γ = Γ1 ∪ Γ ∪ Γ2 , ïðè÷åì íà Γ1 è Γ2 ïîñëåäíåå óñëî-
                                    ′


âèå â (i) âûïîëíÿåòñÿ, òîãäà êàê íà ó÷àñòêå Γ ãðàíèöû Γ, îòâå÷àþùåì
                                                       ′


èçìåíåíèþ ïàðàìåòðà s â èíòåðâàëå [s′1 , s′2 ] ⊂ [s1 , s2 ], âûïîëíÿåòñÿ óñëî-
âèå: ξ ′ (s) − η ′ (s) = 0 èëè ξ(s) − η(s) = onst ∀s ∈ [s′1 , s′2 ]. Ýòî óñëîâèå
îçíà÷àåò â ñèëó (2.11), ÷òî ó÷àñòîê Γ′ ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì õàðàêòåðèñòè-
êè äëÿ óðàâíåíèÿ (2.3), òàê ÷òî êðèâàÿ Γ èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà
ðèñ. 2.2á. Ïîñêîëüêó ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3) îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì
íà õàðàêòåðèñòèêå, òî ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî óíêöèþ ϕ íåëüçÿ çàäàâàòü
ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì íà Γ′ : íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøå-
íèÿ çàäà÷è (2.3), (2.9) â ýòîì ñëó÷àå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû óíêöèÿ ϕ
â (2.9) ïðèíèìàëà ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íà Γ′ . Íî ýòî óñëîâèå íå ÿâëÿåòñÿ
äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì,
ïðîâåäåì äîïîëíèòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ.
   àçîáüåì õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ïîëîñó ΠΓ íà äâå: ΠΓ1 è ΠΓ2 . Ïåðâàÿ ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ïîëîñó, îáðàçîâàííóþ õàðàêòåðèñòè-
êàìè, ïåðåñåêàþùèìè ó÷àñòîê Γ1 êðèâîé Γ. Âòîðàÿ ïîëîñà ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ïîëîñó, îáðàçîâàííóþ õàðàêòåðèñòèêàìè, ïåðå-

                                      115

Страницы