Классические методы математической физики - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
x − t = c
′
Π
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
[0, β] x [0, d] t
Γ (0, 0)
ϕ [0, β] x [0, d] t
u x = t
(0, 0)
[α, 0] x [0, d] t
[α, 0] x [0, d] t
u
ϕ
AB x − t = 0
AB
ϕ AB
ϕ
ϕ ϕ = ϕ
0
= const AB
ñòè è íåïðåðûâíîé äèåðåíöèðóåìîñòè ðåøåíèÿ u íà îñîáîé õàðàêòå-
ðèñòèêå x − t = c′ , à ñëåäîâàòåëüíî, è âñþäó â ïîëîñå ΠΓ . Èõ íàçûâàþò
óñëîâèÿìè ñîãëàñîâàíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è.
   Èç ïðîâåäåííîãî àíàëèçà ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ äëÿ çàäà÷è
Êîøè (2.3), (2.9) äîëæíû çàäàâàòüñÿ â îäíîì èç äâóõ ñëó÷àåâ: 1) êðèâàÿ
Γ, íà êîòîðîé çàäàíî óñëîâèå Êîøè, ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé, íî îíà ñîäåðæèò
ó÷àñòîê, ñîâïàäàþùèé ñ ÷àñòüþ õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (2.3), ëèáî ñî-
äåðæèò òî÷êè, â êîòîðûõ íàïðàâëåíèå Γ ñîâïàäàåò ñ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì
íàïðàâëåíèåì; 2) êðèâàÿ Γ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé, â ýòîì ñëó÷àå óñëî-
âèÿ ñîãëàñîâàíèÿ ñëåäóåò çàäàâàòü â êàæäîé òî÷êå êðèâîé Γ, ãäå íàðóøà-
åòñÿ åå ãëàäêîñòü.
    êà÷åñòâå êðèâîé Γ ìîæíî âûáðàòü, íàïðèìåð, ïðèìûêàþùèå äðóã ê
äðóãó îòðåçêè [0, β] îñè x è [0, d] îñè t (ñì. ðèñ. 2.3à). Ïðàâäà, ïîñêîëüêó
ãëàäêîñòü òàêîé êðèâîé Γ íàðóøàåòñÿ â òî÷êå (0, 0), òî ïðè ýòîì ïðèäåòñÿ
ïîçàáîòèòüñÿ (ñ ïîìîùüþ óñëîâèé ñîãëàñîâàíèÿ) î òîì, ÷òîáû ýëåìåíòû
óíêöèè ϕ, çàäàííûå íà îòðåçêàõ [0, β] îñè x è [0, d] îñè t, îïðåäåëÿëè
óíêöèþ u â (2.5), äèåðåíöèðóåìóþ íà õàðàêòåðèñòèêå x = t, ïðîõî-
äÿùåé ÷åðåç òî÷êó (0, 0). Ê âîïðîñó, êàê ýòî ñäåëàòü, ìû åùå âåðíåìñÿ
â ï. 2.2. À âîò îòðåçêè [α, 0] îñè x è [0, d] îñè t, êîòîðûå èçîáðàæåíû íà
ðèñ. 2.3á, èñïîëüçîâàòü äëÿ ïîñòàíîâêè çàäà÷è Êîøè ñëåäóåò î÷åíü îñòî-
ðîæíî, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå åñòü õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå ïåðåñåêàþò
êàê îòðåçîê [α, 0] îñè x, òàê è îòðåçîê [0, d] îñè t. Ïîñêîëüêó âäîëü êàæ-
äîé òàêîé õàðàêòåðèñòèêè ðåøåíèå u ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå, òî
çàäàâàòü çíà÷åíèÿ ϕ íà óêàçàííûõ îòðåçêàõ ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì íåëü-
çÿ. àññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà äàííûå Êîøè çàäàþòñÿ íà îòðåçêå




              (à)                                          (á)
                                  èñ. 2.4


AB îäíîé èç õàðàêòåðèñòèê, íàïðèìåð x − t = 0 (ñì. ðèñ. 2.4à). Ïîñêîëü-
êó ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3) ïîñòîÿííî íà îòðåçêå AB , òî ÿñíî, ÷òî
óíêöèþ ϕ çàäàâàòü íà îòðåçêå AB ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì íåëüçÿ. Áîëåå
òîãî, â êà÷åñòâå óíêöèè ϕ ìîæíî çàäàòü ëèøü êîíñòàíòó. Åñëè æå óíê-
öèÿ ϕ ïîñòîÿííà, ò. å. ϕ = ϕ0 = const íà AB , òî ðåøåíèåì òàêîé çàäà÷è

                                    117

Страницы