Классические методы математической физики - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u(x, t) = g(t − x/a).
∂u
∂t
− a
∂u
∂x
= 0.
dx
dt
= −a, x|
t=t
0
= x
0
(x
0
, t
0
) a = const
x = −a(t − t
0
) + x
0
(x
0
, t
0
)
x+at = const
Φ(x + at) ϕ(x + at)
g(t + x/a)
Π
−
[α, β]
[α, β]
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
= f.
f Π[α, β]
u = u
1
+ u
2
.
u
1
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
= 0 , u|
t=0
= ϕ(x), x ∈ [ α, β],
u
2
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
= f, u|
t=0
= 0 , x ∈ [α, β].
Òî÷íî òàê æå ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.13), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷-
íîìó óñëîâèþ (2.8), èìååò âèä
                            u(x, t) = g(t − x/a).                     (2.18)
  Ïî àíàëîãè÷íîé ñõåìå èññëåäóåòñÿ óðàâíåíèå
                           ∂u     ∂u
                               −a    = 0.                             (2.19)
                            ∂t    ∂x
Èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ (â äàííîì ñëó÷àå ïðÿìàÿ) çàäà÷è Êîøè
                            dx
                               = −a, x|t=t0 = x0
                            dt
íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé óðàâíåíèÿ (2.19), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
(x0, t0). Ïîñêîëüêó a = const, òî ðåøåíèå ïîñëåäíåé çàäà÷è ñóùåñòâóåò,
åäèíñòâåííî è îïèñûâàåò ïðÿìóþ x = −a(t − t0 ) + x0 . Êîãäà òî÷êà (x0 , t0 )
ïðîáåãàåò íåêîòîðóþ îáëàñòü, óêàçàííûå ïðÿìûå ïðîáåãàþò îäíîïàðàìåò-
ðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïðÿìûõ x+at = const, èçîáðàæåííûõ âìåñòå ñ õàðàêòå-
ðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ (2.13) íà ðèñ. 2.4á. Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî
îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.19), ÷àñòíîå åãî ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå
íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (2.6), è ÷àñòíîå åãî ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ãðà-
íè÷íîìó óñëîâèþ (2.8), èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä Φ(x + at), ϕ(x + at) è
g(t + x/a). Ïðè ýòîì ðåøåíèå, íàïðèìåð, çàäà÷è (2.19), (2.6) åäèíñòâåííî
â ïîëîñå Π− [α, β], îáðàçîâàííîé âñåìè õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ (2.19),
ïåðåñåêàþùèìè [α, β].
  2.2. Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîìåðíîãî íåîäíîðîäíîãî
óðàâíåíèÿ.    àññìîòðèì â ýòîì ïóíêòå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà
                              ∂u    ∂u
                                 +a     = f.                     (2.20)
                              ∂t    ∂x
Çäåñü f - çàäàííàÿ óíêöèÿ. Ïîñòàâèì çàäà÷ó: íàéòè â ïîëîñå Π[α, β] ðå-
øåíèå óðàâíåíèÿ (2.20), óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (2.6).
    ñèëó ëèíåéíîñòè óðàâíåíèÿ (2.20) äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2.20), (2.6)
ñïðàâåäëèâ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè. Ñîãëàñíî åìó, ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè
(2.20), (2.6) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû
                                u = u1 + u2 .                         (2.21)
Çäåñü u1  ðåøåíèå çàäà÷è
                 ∂u    ∂u
                    +a    = 0, u|t=0 = ϕ(x), x ∈ [α, β],              (2.22)
                 ∂t    ∂x
òîãäà êàê u2  ðåøåíèå çàäà÷è
                   ∂u    ∂u
                      +a    = f, u|t=0 = 0, x ∈ [α, β].               (2.23)
                   ∂t    ∂x
                                     119

Страницы