Классические методы математической физики - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u = Φ(x − t) Φ
Φ(0) = ϕ
0
x − t = 0
x − t = c
x
Π[α, β] t ≥ 0
t x = 0
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
= 0,
a = const > 0
dx
dt
= a, x|
t=t
0
= x
0
.
a = const
x = a(t −t
0
) + x
0
.
(x
0
, t
0
) (x
0
, t
0
)
x, t
x − at = const
u(x, t) = Φ (x − at),
Φ
u(x, t) = ϕ(x − at).
Êîøè áóäåò ÿâëÿòüñÿ óíêöèÿ u = Φ(x − t), ãäå óíêöèÿ Φ ïîä÷èíåíà
åäèíñòâåííîìó óñëîâèþ Φ(0) = ϕ0 , à â îñòàëüíîì ïðîèçâîëüíà. Òàêèì îá-
ðàçîì, îáëàñòü åäèíñòâåííîñòè â ýòîì ñëó÷àå ñòÿãèâàåòñÿ â îäíó ïðÿìóþ
(õàðàêòåðèñòèêó) x − t = 0.
   Èç ïðèâåäåííûõ ðåçóëüòàòîâ ñëåäóåò âûâîä, ÷òî âûáîð êðèâûõ èëè îò-
ðåçêîâ, íà êîòîðûõ ðàçóìíî çàäàâàòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, íå ìîæåò
áûòü ïðîèçâîëüíûì. Íóæíî ó÷èòûâàòü ðàñïîëîæåíèå ýòèõ ó÷àñòêîâ îòíî-
ñèòåëüíî ïðÿìûõ x − t = c, êîòîðûå èãðàþò, òàêèì îáðàçîì, îñîáóþ ðîëü
äëÿ óðàâíåíèÿ (2.3). Ïîýòîìó ýòè ïðÿìûå ïîëó÷èëè îñîáîå íàçâàíèå õàðàê-
òåðèñòèê óðàâíåíèÿ (2.3).
   Â äàëüíåéøåì, çàäàâàÿ äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ íà îòðåçêå îñè x â âèäå
(2.6) è ðàçûñêèâàÿ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.3) â õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîëîñå
Π[α, β], îïèðàþùåéñÿ íà ýòîò îòðåçîê, òîëüêî äëÿ çíà÷åíèé âðåìåíè t ≥ 0,
ìû áóäåì ññûëàòüñÿ íà (2.6) êàê íà íà÷àëüíîå óñëîâèå. Åñëè æå äîïîëíè-
òåëüíîå óñëîâèå çàäàåòñÿ íà íåêîòîðîì îòðåçêå îñè t, ò. å. ïðè x = 0, â âèäå
(2.8), òî íà íåãî áóäåì ññûëàòüñÿ êàê íà ãðàíè÷íîå óñëîâèå.
   àññìîòðèì òåïåðü áîëåå îáùåå óðàâíåíèå 1-ãî ïîðÿäêà
                              ∂u     ∂u
                                 +a     = 0,                        (2.13)
                              ∂t     ∂x
ãäå a = const > 0. àññóæäàÿ, êàê è âûøå, ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå óðàâíå-
íèþ (2.13) ñëåäóþùóþ çàäà÷ó Êîøè äëÿ îáûêíîâåííîãî äèåðåíöèàëü-
íîãî óðàâíåíèÿ 1-ãî ïîðÿäêà
                          dx
                             = a, x|t=t0 = x0.                    (2.14)
                          dt
Ïîñêîëüêó a = const, òî ñîãëàñíî òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé [51℄ ðåøåíèå çàäà÷è (2.14) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïè-
ñûâàåò ïðÿìóþ (èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ çàäà÷è (2.14))
                            x = a(t − t0 ) + x0.                      (2.15)
Óêàçàííóþ ïðÿìóþ íàçûâàþò õàðàêòåðèñòèêîé óðàâíåíèÿ (2.13), ïðîõî-
äÿùåé ÷åðåç òî÷êó (x0, t0 ). Êîãäà òî÷êà (x0, t0 ) ïðîáåãàåò íåêîòîðóþ îá-
ëàñòü â ïëîñêîñòè x, t, ïðÿìûå (2.15) ïðîáåãàþò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñå-
ìåéñòâî ïðÿìûõ x − at = const, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 2.4á.
   àññóæäàÿ, êàê è âûøå, ëåãêî ïîêàçûâàåì, ÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíå-
íèÿ (2.13) èìååò âèä
                            u(x, t) = Φ(x − at),                     (2.16)
ãäå Φ  ïðîèçâîëüíàÿ äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ, òîãäà êàê ÷àñòíîå ðå-
øåíèå óðàâíåíèÿ (2.13), óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (2.6), èìååò
âèä
                           u(x, t) = ϕ(x − at).                   (2.17)

                                    118

Страницы