Классические методы математической физики - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
1
Π[α, β]
u
2
0
x ,t
0
(
)
0
x ,t
0
(
)
[ ]
Π
c, d
Π[
t
0
x
c
T
t
0
x
Q
Q
2
1
l
0
t
x
0
d
x=at
,βα
]
α β
a = const
(x
0
, t
0
) Π[α, β]
x
u
2
t du
2
/dt u
2
t
du
2
dt
=
∂u
2
∂t
+
∂u
2
∂x
dx
dt
=
∂u
2
∂t
+ a
∂u
2
∂x
.
du
dt
= f[x
0
+ a(t − t
0
), t]
u[x
0
+ a(t −t
0
), t] t
[0, t
0
]
u
2
(x
0
, t
0
) =
t
0
Z
0
f[x
0
+ a(t − t
0
), t]dt =
t
0
Z
0
f[x
0
+ a(τ − t
0
), τ]dτ.
Ïîñêîëüêó ðåøåíèå u1 çàäà÷è (2.22) óæå ïîñòðîåíî â ï. 2.1 è èìååò âèä
(2.17) â ïîëîñå Π[α, β], òî íàì îñòàåòñÿ íàéòè ëèøü ðåøåíèå çàäà÷è (2.23).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ u2 ïðîäåëàåì ñëåäóþùåå ïîñòðîåíèå. Ââåäåì â ðàññìîò-
       t                                                        t
                        Π [ c, d]                               T

       d              (x0   ,t0)
                                        Π[α ,β]
                                                                t0          Q2          at
                                                                                      x=
       c                                 (x0   ,t0)
                                                                                             Q1

       0    α                       β                 x         0                x0                l   x
                (à)                                                                          (á)
                                                      èñ. 2.5


ðåíèå õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (2.20). Êàê è äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíå-
íèÿ (2.13), ïîä íèìè áóäåì ïîíèìàòü èíòåãðàëüíûå êðèâûå çàäà÷è Êîøè
(2.14), ò. å. â äàííîì ñëó÷àå (ïðè a = const) ïðÿìûå (2.15). Âîçüìåì ïðîèç-
âîëüíóþ òî÷êó (x0 , t0 ) õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîëîñû Π[α, β] äëÿ óðàâíåíèÿ
(2.20) è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå õàðàêòåðèñòèêó äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ x (ñì.
ðèñ. 2.5à). Óðàâíåíèå óêàçàííîé õàðàêòåðèñòèêè èìååò âèä (2.15). Âäîëü
êàæäîé òàêîé õàðàêòåðèñòèêè ðåøåíèå u2 ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé óíêöèåé ïà-
ðàìåòðà t. Îáîçíà÷èì ÷åðåç du2 /dt ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðîèçâîäíóþ îò u2
ïî t. àññóæäàÿ, êàê â íà÷àëå ï. 2.1, èìååì
                   du2     ∂u2 ∂u2 dx ∂u2               ∂u2
                        =        +         =        +a      .
                    dt      ∂t      ∂x dt     ∂t        ∂x
  Ñðàâíèâàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå ñ (2.20), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî âäîëü êàæ-
äîé õàðàêòåðèñòèêè (2.15) óðàâíåíèå â (2.23) ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó îáûê-
íîâåííîìó äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
                          du
                               = f [x0 + a(t − t0 ), t]              (2.24)
                          dt
äëÿ óíêöèè u[x0 + a(t − t0 ), t] êàê óíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé t. Èíòåãðè-
ðóÿ óðàâíåíèå (2.24) íà èíòåðâàëå [0, t0], ïîëó÷àåì ñ ó÷åòîì îäíîðîäíîñòè
íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ â (2.23), ÷òî
                    Zt0                                             Zt0
    u2(x0, t0 ) =           f [x0 + a(t − t0 ), t]dt =                    f [x0 + a(τ − t0 ), τ ]dτ.       (2.25)
                    0                                               0

                                                          120

Страницы