Классические методы математической физики - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

[c, d]
t (x
0
, t
0
) Π[c, d]
t t
′
0
= t
0
−x
0
/a
τ ∈
[t
0
− x
0
/a, t]
u(x
0
, t
0
) =
t
0
Z
t
0
−x
0
/a
f[x
0
+ a(τ − t
0
), τ]dτ.
(x
0
, t
0
) (x, t) Π[c, d]
u(x, t) =
t
Z
t−x/a
f[x + a(τ −t), τ]dτ, (x, t) ∈ Π[c, d].
g = 0
u(x, t) = g(t − x/a) +
t
Z
t−x/a
f[x + a(τ − t), τ]dτ, (x, t) ∈ Π[c, d]
f g
Π[c, d]
Q = (0, l] × (0, T ]
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
= f
Q,
u|
t=0
= ϕ(x), x ∈ [0, l], u|
x=0
= g(t), t ∈ [0 , T ].
u
t = 0 x = 0 (0, l)
u
u ∈ C
1
(Q) ∩ C
0
(Q)
(x, t) ∈ Q x ∈
[0, l] t ∈ [0, T ]
îòâå÷àþùåé ñèòóàöèè, êîãäà äàííûå Êîøè çàäàþòñÿ íà îòðåçêå [c, d] îñè
t. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó (x0, t0) õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîëîñû Π[c, d]
äëÿ óðàâíåíèÿ (2.20) è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå õàðàêòåðèñòèêó (2.15), ÿâëÿþùó-
þñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (2.14), äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ t â òî÷êå t0 = t0 − x0 /a.
                                                             ′


Âäîëü ýòîé õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèå (2.20) ñâîäèòñÿ ê îáûêíîâåííîìó
äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (2.24). Èíòåãðèðóÿ åãî íà èíòåðâàëå τ ∈
[t0 − x0/a, t], ïîëó÷èì
                                    Zt0
                  u(x0, t0 ) =               f [x0 + a(τ − t0 ), τ ]dτ.
                                 t0 −x0 /a

Çàìåíÿÿ (x0, t0 ) íà ïåðåìåííóþ òî÷êó (x, t) ïîëîñû Π[c, d], ïðèõîäèì ê îð-
ìóëå
                         Zt
            u(x, t) =       f [x + a(τ − t), τ ]dτ, (x, t) ∈ Π[c, d].  (2.29)
                     t−x/a

   Ïðîñòîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî óíêöèÿ (2.29) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
çàäà÷è (2.28) ïðè g = 0, òîãäà êàê óíêöèÿ
                             Zt
   u(x, t) = g(t − x/a) +          f [x + a(τ − t), τ ]dτ, (x, t) ∈ Π[c, d]   (2.30)
                          t−x/a

ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì íåîäíîðîäíîé çàäà÷è (2.28) ïðè óñëîâèè, êîíå÷íî, ÷òî
óíêöèè f è g ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìûìè óíêöèÿìè
ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Óêàçàííîå ðåøåíèå åäèíñòâåííî â ïîëîñå Π[c, d].
   àññìîòðèì òåïåðü ñëåäóþùóþ îáùóþ íåîäíîðîäíóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâ-
íåíèÿ (2.20) â îáëàñòè Q = (0, l] × (0, T ]:
                             ∂u       ∂u
                                 +a      = f â Q,                    (2.31)
                              ∂t      ∂x
               u|t=0 = ϕ(x), x ∈ [0, l], u|x=0 = g(t), t ∈ [0, T ].  (2.32)
Ïîñêîëüêó äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ðåøåíèÿ u óðàâíåíèÿ (2.31) çà-
äàþòñÿ êàê ïðè t = 0, òàê è íà êîíöå x = 0 èíòåðâàëà (0, l), òî çàäà÷à
(2.31)(2.32) èìååò ñìûñë íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ (2.31).
Äëÿ êðàòêîñòè íà íå¼ áóäåì ññûëàòüñÿ êàê íà çàäà÷ó 1. Ïîñòàâèì öåëü: ïî-
ñòðîèòü êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå u çàäà÷è 1. Ïðèâåäåì ñòðîãîå îïðåäåëåíèå
ýòîãî ïîíÿòèÿ, ðóêîâîäñòâóÿñü ñîîáðàæåíèÿìè, èçëîæåííûìè â ï. 1.5
    Îïðåäåëåíèå 2.1. Êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è 1 áóäåì íàçûâàòü
óíêöèþ u ∈ C 1 (Q) ∩ C 0 (Q), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ (2.31) â êàæ-
äîé òî÷êå (x, t) ∈ Q, íà÷àëüíîìó óñëîâèþ â (2.32) â êàæäîé òî÷êå x ∈
[0, l] è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ â (2.32) ïðè êàæäîì çíà÷åíèè t ∈ [0, T ].

                                             122

Страницы