Классические методы математической физики - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u Q
(x, t) ∈ Q
(l, t) (x, T ) Q
(x, 0)
Q (0, t)
f ∈ C
m
(Q), ϕ ∈ C
m
[0, l], g ∈ C
m
[0, T ].
m ∈ N
+
Q
1
= {(x, t) ∈ Q : x > at}, Q
2
= { (x, t) ∈ Q : x < at},
u
1
(x, t) = ϕ(x − at) +
t
Z
0
f[x + a(τ − t), τ]dτ
Q
1
,
u
2
(x, t) = g(t − x/a) +
t
Z
t−x/a
f[x + a(τ − t), τ]dτ
Q
2
.
u
i
∈ C
m
(Q
i
), i = 1, 2 u
1
Q
1
u
2
Q
2
Q u
1
u
2
x = at
(0, 0)
u(x, t) =
u
1
(x, t), (x, t) ∈ Q
1
,
u
2
(x, t), (x, t) ∈ Q
2
.
u C
m
(Q), m ≥
1 u
1
u
2
x = at m
f, ϕ g
m
(0, 0)
ϕ(0) = g(0); g
′
(0) + aϕ
′
(0) = f (0, 0),
   Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 2.1 êëàññè÷åñêîå ðåøå-
íèå u çàäà÷è 1 ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìîé â Q óíêöèåé,
óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ (2.31) â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ Q, â òîì ÷èñ-
ëå è â òî÷êàõ (l, t) è (x, T ), ëåæàùèõ íà ïðàâîé è âåðõíåé ãðàíèöàõ Q.
Íî îíî íå îáÿçàíî, âîîáùå ãîâîðÿ, óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ (2.31) è áûòü
íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìûì â òî÷êàõ (x, 0) íèæíåé ãðàíèöû îáëàñòè
Q, ãäå çàäàíî íà÷àëüíîå óñëîâèå, è â òî÷êàõ (0, t) ëåâîé ãðàíèöû, ãäå çà-
äàíî ãðàíè÷íîå óñëîâèå â (2.32).
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ

                 f ∈ C m (Q), ϕ ∈ C m[0, l], g ∈ C m [0, T ].               (2.33)

Çäåñü m ∈ N+  íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå öåëîå ÷èñëî. Ïîëîæèì

      Q1 = {(x, t) ∈ Q : x > at}, Q2 = {(x, t) ∈ Q : x < at},               (2.34)
                                        Zt
            u1(x, t) = ϕ(x − at) +           f [x + a(τ − t), τ ]dτ â Q1,   (2.35)
                                        0
                                   Zt
        u2 (x, t) = g(t − x/a) +            f [x + a(τ − t), τ ]dτ â Q2.    (2.36)
                                t−x/a

   Èç ïðåäûäóùåãî àíàëèçà ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (2.33)
ui ∈ C m(Qi), i = 1, 2, ïðè÷åì óíêöèÿ u1 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.31)
â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè Q1 è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ â (2.32), à óíêöèÿ u2
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.31) âñþäó â Q2 è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ â (2.32).
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ âî âñåé îáëàñòè Q ñêëåèì óíêöèè u1 è u2 íà
îñîáîé äëÿ çàäà÷è 1 õàðàêòåðèñòèêå x = at, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç óãëîâóþ
òî÷êó (0, 0), ïîëàãàÿ
                                
                                  u1 (x, t), (x, t) ∈ Q1 ,
                      u(x, t) =                                   (2.37)
                                  u2 (x, t), (x, t) ∈ Q2 .

   ßñíî, ÷òî òàê ââåäåííàÿ óíêöèÿ u ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó C m (Q), m ≥
1, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà óíêöèè u1 è u2 ñîâïàäàþò íà îñîáîé õàðàê-
òåðèñòèêå x = at âìåñòå ñî âñåìè ïðîèçâîäíûìè äî ïîðÿäêà m âêëþ÷èòåëü-
íî. Äëÿ ýòîãî, â ñâîþ î÷åðåäü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èñõîäíûå
äàííûå çàäà÷è (2.31), (2.32), ò.å. óíêöèè f, ϕ è g , óäîâëåòâîðÿëè âìå-
ñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè äî ïîðÿäêà m âêëþ÷èòåëüíî îïðåäåëåííûì
óñëîâèÿì ñîãëàñîâàíèÿ â òî÷êå (0, 0). Ïðîñòåéøèå èç íèõ, èìåþùèå âèä

                   ϕ(0) = g(0); g ′ (0) + aϕ′ (0) = f (0, 0),               (2.38)

                                            123

Страницы