Классические методы математической физики - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

m = min( min
x∈[0,l]
ϕ(x) min
t∈[0,T ]
g(t)) M = max(max
x∈[0,l]
ϕ(x) max
t∈[0,T ]
g(t))
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
+ γ(x, t)u = f
Q
u
u
γu γ ≥ 0
[0, l]
(u, v) = (u, v)
H
=
Z
l
0
u(x)v(x)dx, kuk = kuk
H
= (u, u)
1/2
,
H = H[0, l] G = G[0, T ]
[0, T ] kgk
G
=
R
T
0
g
2
(t)dt
1/2
U = C[0, T ; H]
F = L
1
(0, T ; H) (x, t) ∈ Q
kuk
U
= max
0≤t≤T
ku(·, t) k
H
, kfk
F
=
Z
T
0
kf(·, t)k
H
dt.
u : Q → R
H t t
[0, T ] f : Q → R
H (0, T )
Çäåñü m = min( min ϕ(x), min g(t)); M = max(max ϕ(x), max g(t)). Îá-
                x∈[0,l]        t∈[0,T ]             x∈[0,l]   t∈[0,T ]
ðàòèâøèñü ê îöåíêàì (2.39), (2.40), çàìåòèì, ÷òî óêàçàííûå îöåíêè ïîëó-
÷åíû íà îñíîâå ÿâíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ â âèäå (2.35)(2.37). Îöåíêè
òàêîãî ðîäà (ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì èíîðìàöèè î ðåøåíèè), íàçû-
âàþòñÿ àïîñòåðèîðíûìè. îëü ýòèõ îöåíîê â îáùåì-òî íåâåëèêà, òàê êàê
íàéòè ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå òî÷íîãî ðåøåíèÿ óäà¼òñÿ â ðåäêèõ ñëó÷àÿõ.
Òàê, äëÿ óðàâíåíèÿ
                          ∂u    ∂u
                             +a    + γ(x, t)u = f â Q                    (2.41)
                          ∂t    ∂x
ïîñòðîåíèå àíàëîãè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ïðîáëåìàòè÷-
íûì. Âàæíî, îäíàêî, îòìåòèòü, ÷òî îöåíêè âèäà (2.39) ìîæíî ïîëó÷àòü è
áåç èñïîëüçîâàíèÿ èíîðìàöèè î òî÷íîì ðåøåíèè u, à ñ èñïîëüçîâàíèåì
ëèøü ñâîéñòâ ñàìîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîìó óäîâëåòâî-
ðÿåò u. Ïîÿñíèì èäåþ òàêîãî ïîäõîäà ê ïîëó÷åíèþ îöåíîê ðåøåíèÿ íà
ïðèìåðå áîëåå îáùåãî óðàâíåíèÿ (2.41). Íàïîìíèì, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ
èçè÷åñêèì ñìûñëîì (ñì. Ÿ 4 ãë. 1) ñëàãàåìîå γu îïèñûâàåò ïðè γ ≥ 0
ýåêò ïîãëîùåíèÿ ïåðåíîñèìîé â ñðåäå ñóáñòàíöèè, âûçâàííîãî, íàïðè-
ìåð, äåéñòâèåì õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé. Äëÿ êðàòêîñòè íà çàäà÷ó (2.41), (2.32)
áóäåì ññûëàòüñÿ êàê íà çàäà÷ó 2.
   2.3. Ìåòîä ýíåðãåòè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ. Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå
ïðîñòðàíñòâî óíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ è íåïðåðûâíûõ íà ðàññìàòðèâàåìîì
èíòåðâàëå [0, l]. Îïðåäåëèâ â íåì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìó ïî îð-
ìóëàì
                         Z l
      (u, v) = (u, v)H =     u(x)v(x)dx, kuk = kukH = (u, u)1/2,   (2.42)
                           0

ïîëó÷èì áåñêîíå÷íîìåðíîå åâêëèäîâî (èëè ïðåäãèëüáåðòîâî) ïðîñòðàíñòâî,
ò. å. íåïîëíîå ïî ââåä¼ííîé íîðìå óíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî. Îáîçíà-
÷èì åãî ÷åðåç H = H[0, l]. Òî÷íî òàê æå ÷åðåç G = G[0, T ] îáîçíà÷èì
ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà èíòåðâàëå [0, T ] óíêöèé ñ íîðìîé kgkG =
R          1/2
    T 2
   0 g (t)dt     . Ââåäåì äàëåå äâà íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâà U = C[0, T ; H]
è F = L1 (0, T ; H), ñîñòîÿùèå èç óíêöèé, çàâèñÿùèõ îò (x, t) ∈ Q, ñ íîð-
ìàìè                                          Z T
             kukU = max ku(·, t)kH , kf kF =      kf (·, t)kH dt.   (2.43)
                      0≤t≤T                     0
Ïåðâîå èç íèõ ñîñòîèò èç óíêöèé u : Q → R, íîðìû êîòîðûõ â ïðî-
ñòðàíñòâå H , çàâèñÿùèå îò t, ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè óíêöèÿìè îò t íà
èíòåðâàëå [0, T ]. Âòîðîå ñîñòîèò èç óíêöèé f : Q → R, íîðìû êîòîðûõ
â H ÿâëÿþòñÿ èíòåãðèðóåìûìè óíêöèÿìè íà (0, T ). Âûðàæåíèÿ â (2.43)

                                          125

Страницы