Классические методы математической физики - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

U F
u
C
1
(Q)
u (0, l)
Z
l
0
∂u
∂t
udx =
1
2
Z
l
0
d
dt
u
2
dx =
1
2
d
dt
Z
l
0
u
2
dx =
1
2
d
dt
ku(·, t)k
2
,
Z
l
0
a
∂u
∂x
udx =
a
2
Z
l
0
∂
∂x
(u
2
)dx =
a
2
[u
2
(l, t) − u
2
(0, t)],
d
dt
ku(·, t)k
2
+ au
2
(l, t) − ag
2
(t) + 2
Z
l
0
γu
2
dx = 2(f, u).
g(t) = 0 γ(x, t) ≥ 0
|(f, u)| ≤ kfkkuk
d
dt
ku(·, t)k
2
≡ 2kuk
d
dt
kuk ≤ 2kfkkuk.
kuk > 0 2kuk
(0, t)
ku(·, t)k ≤ kϕk
H
+
Z
t
0
kf(·, τ)kdτ ≤ kϕk
H
+
Z
T
0
kf(·, τ)kdτ ∀t ∈ [0, T ].
kuk = 0
kuk
U
≤ kϕk
H
+ kfk
F
.
f = 0, γ ≥ 0 f = 0 (0, t)
ku(·, t)k
2
= k ϕk
2
+ a
Z
t
0
g
2
(τ)dτ −a
Z
t
0
u
2
(l, τ)dτ −2
Z
t
0
Z
l
0
γu
2
dxdτ.
ku(·, t)k
2
≤ kϕk
2
+ a
Z
t
0
g
2
(τ)dτ = k ϕk
2
H
+ akgk
2
G
∀t ∈ [0, T].
óäîâëåòâîðÿþò âñåì òð¼ì óñëîâèÿì, âõîäÿùèì â îïðåäåëåíèå íîðìû (ñì.
ï. 1.3). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îðìóëû â (2.43) äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿþò íîð-
ìû â ïðîñòðàíñòâàõ U è F .
   Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðåøåíèå u çàäà÷è 2 ñóùåñòâóåò è ïðèíàäëåæèò ïðî-
ñòðàíñòâó C 1 (Q), ò. å. ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì, óìíîæèì óðàâíåíèå (2.41) íà
u è ïðîèíòåãðèðóåì íà èíòåðâàëå (0, l). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
           Z l
               ∂u          1 l d 2             1d l 2          1d
                            Z                      Z
                   udx =             u dx =             u dx =      ku(·, t)k2,
             0 ∂t          2 0 dt              2 dt 0          2 dt
              Z l
                    ∂u         a l ∂ 2                a
                                  Z
                   a udx =               (u )dx = [u2(l, t) − u2(0, t)],
               0    ∂x         2 0 ∂x                 2
ïðèõîäèì ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ â (2.32) ê ñîîòíîøåíèþ
                                                    Z l
          d
             ku(·, t)k2 + au2 (l, t) − ag 2 (t) + 2     γu2dx = 2(f, u).        (2.44)
          dt                                         0

   Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî g(t) = 0, γ(x, t) ≥ 0. Îñòàâëÿÿ â ëåâîé ÷à-
ñòè (2.44) ïåðâîå ñëàãàåìîå è ïðèìåíÿÿ ê ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâî Êîøè,
ñîãëàñíî êîòîðîìó |(f, u)| ≤ kf kkuk, ïîëó÷èì
                   d                     d
                      ku(·, t)k2 ≡ 2kuk kuk ≤ 2kf kkuk.
                   dt                    dt
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî kuk > 0, îêðàòèì îáå ÷àñòè íà 2kuk è ïðîèíòåãðèðóåì
ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå íà èíòåðâàëå (0, t). Ó÷èòûâàÿ íà÷àëüíîå óñëîâèå â
(2.32), ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
                     Z t                        Z T
  ku(·, t)k ≤ kϕkH +     kf (·, τ )kdτ ≤ kϕkH +     kf (·, τ )kdτ ∀t ∈ [0, T ].
                         0                            0

Ïðè kuk = 0 ýòî íåðàâåíñòâî è òåì áîëåå ñïðàâåäëèâî. Èç íåãî âûòåêàåò ñ
ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé (2.43), ÷òî
                              kukU ≤ kϕkH + kf kF .                            (2.45)
  Ïóñòü òåïåðü f = 0, γ ≥ 0. Èíòåãðèðóÿ (2.44) ïðè f = 0 íà (0, t),
ïîëó÷èì
                     Z t              Z t                 Z tZ l
          2     2         2                2
 ku(·, t)k = kϕk + a     g (τ )dτ − a     u (l, τ )dτ − 2        γu2dxdτ. (2.46)
                          0                0                  0   0

Ïîñêîëüêó ïîñëåäíèå äâà ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè (2.46) íåïîëîæèòåëü-
íû, òî, îòáðàñûâàÿ èõ, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó
                        Z t
             2     2
    ku(·, t)k ≤ kϕk + a     g 2 (τ )dτ = kϕk2H + akgk2G ∀t ∈ [0, T ]. (2.47)
                              0

                                         126

Страницы