Классические методы математической физики - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

F H
G U
u
1
= u
2
ϕ
1
= ϕ
2
, g
1
= g
2
, f
1
= f
2
γ ≥ 0 Q
u ∈ C
1
(Q)
(ϕ, g, f)
γ = 0
u ∈ C
1
(Q)
u
(ϕ, g, f)
g(t) = 0
f = 0 γ ≥ 0 E(t) t
t
f = 0 g = 0
(0, l) x = l
Èç (2.50), â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî ìàëûì âîçìóùåíèÿì ïðàâîé ÷àñòè â
íîðìå ïðîñòðàíñòâà F , íà÷àëüíîé óíêöèè â íîðìå H è ãðàíè÷íîé óíê-
öèè â íîðìå G îòâå÷àþò ìàëûå âîçìóùåíèÿ ðåøåíèÿ â U . Ýòî è îçíà÷àåò
óñòîé÷èâîñòü ðåãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 2. Èç (2.50) òàêæå âûòåêàåò, ÷òî
u1 = u2 ïðè ϕ1 = ϕ2 , g1 = g2 , f1 = f2. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò åäèíñòâåííîñòü
ðåãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 2. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â âè-
äå òåîðåìû.
   Òåîðåìà 2.2. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ γ ≥ 0 â Q ðåãóëÿðíîå ðåøå-
íèå u ∈ C 1 (Q) çàäà÷è 2 åäèíñòâåííî è íåïðåðûâíî çàâèñèò îò èñõîäíûõ
äàííûõ (ϕ, g, f ) â òîì ñìûñëå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà (2.50).
    ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà γ = 0, èç òåîðåì 2.1 è 2.2 âûòåêàåò ñëåäóþùåå
   Ñëåäñòâèå 2.1. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 2.1 ðåãóëÿðíîå ðå-
øåíèå u ∈ C 1 (Q) çàäà÷è 1 ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî, è äëÿ íåãî âûïîë-
íÿåòñÿ îöåíêà (2.49), îçíà÷àþùàÿ íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ u
îò äàííûõ (ϕ, g, f ).
   Èòàê, ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåãóëÿðíîãî ðåøå-
íèÿ çàäà÷è 1 ïðè âûïîëíåíèè îïðåäåëåííûõ óñëîâèé íà èñõîäíûå äàííûå.
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ îñíîâûâàëîñü íà
ìåòîäå õàðàêòåðèñòèê, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî àêòè÷åñêè áûëî ïîñòðîåíî
ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ â âèäå (2.35)(2.37). Â òî æå âðåìÿ ïðè äîêà-
çàòåëüñòâå óñòîé÷èâîñòè è åäèíñòâåííîñòè ìû èñïîëüçîâàëè ñîâñåì äðóãîé
ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ìåòîäå ýíåðãåòè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ,
êîãäà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé çàäà÷è èñïîëüçóþòñÿ ðàçíûå ìåòîäû, ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûì äå-
ëîì ïðè òåîðåòè÷åñêîì èçó÷åíèè çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Îòìåòèì
ïðè ýòîì, ÷òî ìåòîä õàðàêòåðèñòèê, èñïîëüçóåìûé ïðè âûâîäå ÿâíîãî ïðåä-
ñòàâëåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è 1, ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ñïåöèè÷åñêèì è èñïîëüçó-
åòñÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé ëèøü íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ óðàâíåíèé
ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü åìó, ìåòîä ýíåðãåòè÷åñêèõ
íåðàâåíñòâ, èñïîëüçóåìûé íàìè âûøå ïðè äîêàçàòåëüñòâå åäèíñòâåííîñòè
ðåøåíèÿ çàäà÷è 2, ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíûì è ñ óñïåõîì áóäåò
ïðèìåíÿòüñÿ â ñëåäóþùèõ ãëàâàõ ïðè èññëåäîâàíèè åäèíñòâåííîñòè ðåøå-
íèé äðóãèõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè.
   Íàðÿäó ñ àïðèîðíûìè îöåíêàìè âàæíóþ ðîëü èãðàþò òàê íàçûâàåìûå
èíòåãðàëüíûå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, óñòàíàâëèâàþùèå íåêîòîðûå èíòåãðàëü-
íûå ñâîéñòâà ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Ïðîñòåéøèé èç íèõ äëÿ
çàäà÷è (2.41), (2.32) èìååò âèä (2.46).  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà g(t) = 0, îí
îçíà÷àåò, ÷òî ïðè f = 0 è γ ≥ 0 ýíåðãèÿ E(t) óáûâàåò ñ ðîñòîì t (òàê êàê
ñ ðîñòîì t óáûâàþò ïîñëåäíèå äâà ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè (2.46)). Ýòî
åñòåñòâåííî ñ èçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ïîñêîëüêó óñëîâèÿ f = 0, g = 0
îçíà÷àþò îòñóòñòâèå ïðèòîêà ýíåðãèè â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó. Òàê êàê
ïðè ýòîì ÷àñòèöû, âûõîäÿùèå èç (0, l) ÷åðåç êîíåö x = l âûíîñÿò ñ ñîáîé

                                    128

Страницы