Классические методы математической физики - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
′
diva = 0
t Ω
Γ
1
Ω
t Γ
2
Σ
i
= Γ
i
×(0, T ] i = 1, 2
u|
t=0
= ϕ(x), x = (x, y) ∈ Ω, u|
x=0
= g(y, t), (y, t) ∈ Σ
1
.
ϕ g
Ω
0
= {(x, t) ∈ Q : x ∈ Ω, t = 0}
Q Σ
1
Γ
1
Q Ω
0
Σ
1
ϕ ∈ C
1
(Ω) g ∈ C
1
(Σ
1
) f ∈ C
1
(Q)
C
1
(Q)
a
(x, t) ∈ Q
y
(x, t)
dy
dτ
= a(y, τ),
y|
τ=t
= x.
(x, t) ∈ Q
ïåðåíîñà ñóáñòàíöèè u, îïèñûâàåìûé óðàâíåíèåì (2.51), ÿâëÿåòñÿ íåñæè-
ìàåìîé. Ïîñëåäíåå óñëîâèå â (ii′) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óñëîâèÿ diva = 0 è
äâóìåðíîé îðìóëû àóññà-Îñòðîãðàäñêîãî. Îíî îçíà÷àåò èçè÷åñêè, ÷òî
êîëè÷åñòâî æèäêîñòè, âòåêàþùåå â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t â îáëàñòü Ω
÷åðåç ó÷àñòîê Γ1 , ðàâíî êîëè÷åñòâó æèäêîñòè, âûòåêàþùåé èç Ω â òîò æå
ìîìåíò t ÷åðåç ó÷àñòîê Γ2 .
   Ïîëîæèì Σi = Γi ×(0, T ], i = 1, 2. Óðàâíåíèå (2.51) áóäåì ðàññìàòðèâàòü
ïðè ñëåäóþùèõ íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ

      u|t=0 = ϕ(x), x = (x, y) ∈ Ω, u|x=0 = g(y, t), (y, t) ∈ Σ1.    (2.52)

Çäåñü ϕ è g  çàäàííûå óíêöèè ñâîèõ àðãóìåíòîâ. Îòìåòèì, ÷òî íà óñëî-
âèÿ (2.52) ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà óñëîâèÿ Êîøè äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ
(2.51), çàäàâàåìûå íà ïîâåðõíîñòè (íîñèòåëå äàííûõ Êîøè), ñîñòîÿùåé èç
íèæíåé ãðàíèöû Ω0 = {(x, t) ∈ Q : x ∈ Ω, t = 0} (îñíîâàíèÿ) ïàðàëëåëå-
ïèïåäà Q è åãî áîêîâîé ëåâîé ãðàíè Σ1 . Ïðè òàêîé èíòåðïðåòàöèè ó÷àñòîê
Γ1 îáëàñòè Q, ÿâëÿþùèéñÿ ïåðåñå÷åíèåì Ω0 è Σ1 , èãðàåò îñîáóþ ðîëü äëÿ
çàäà÷è Êîøè, èáî îí ñîñòîèò èç òî÷åê, â êîòîðûõ íàðóøàåòñÿ ãëàäêîñòü
íîñèòåëÿ äàííûõ Êîøè.
   Íèæå íà çàäà÷ó (2.51), (2.52) äëÿ êðàòêîñòè áóäåì ññûëàòüñÿ êàê íà
çàäà÷ó 3. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
(iii) ϕ ∈ C 1 (Ω), g ∈ C 1 (Σ1 ), f ∈ C 1 (Q).
   Íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè
ðåãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 3 èç ïðîñòðàíñòâà C 1 (Q) ïðè âûïîëíåíèè ââå-
äåííûõ óñëîâèé íà èñõîäíûå äàííûå è íåêîòîðûõ óñëîâèé ñîãëàñîâàíèÿ íà
íèõ. Äëÿ ýòîãî ìû òàê æå, êàê è â ï. 2.2, ïîñòðîèì îðìóëó, îïèñûâàþùóþ
ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå åå ðåøåíèÿ ÷åðåç èñõîäíûå äàííûå.
   Èç òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èçâåñòíî [51℄,
÷òî íàõîæäåíèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.51) ýêâèâàëåíòíî, ïî êðàéíåé ìåðå,
äëÿ ãëàäêîé âåêòîð-óíêöèè a, íàõîæäåíèþ åãî õàðàêòåðèñòèê. Ïîýòîìó
ìû íà÷íåì ñ ââåäåíèÿ ñòðîãîãî ïîíÿòèÿ õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (2.51).
Ïóñòü (x, t) ∈ Q  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè, çàêëþ-
÷àþùóþñÿ â íàõîæäåíèè âåêòîð-óíêöèè y â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè
(x, t) èç óñëîâèé
                              dy
                                  = a(y, τ ),                      (2.53)
                              dτ
                                y|τ =t = x.                        (2.54)
Èç [51, ãë.7℄ âûòåêàåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (i) ðåøåíèå çàäà÷è
(2.53), (2.54) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî ïî êðàéíåé ìåðå â íåêîòîðîé îêðåñò-
íîñòè ëþáîé òî÷êè (x, t) ∈ Q.


                                         130

Страницы