Классические методы математической физики - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

t
f = 0
γ ≡ 0
ku(·, t)k
2
H
= kϕk
2
H
+ a
Z
t
0
g
2
(τ)dτ −a
Z
t
0
u
2
(l, τ)dτ.
u
Q
t
= (0 < x < l, 0 < τ < t)
(u, au)
Ω = 0 < x < l, 0 < y < h
x, y Q = {(x, y, t), (x, y) ∈ Ω, t ∈ (0, T ]}
∂u
∂t
+ a ·gradu ≡
∂u
∂t
+ a
∂u
∂x
+ b
∂u
∂y
= f.
a b Q a = (a, b)
f Q a b
a, b ∈ C
1,0
(Q)
a|
x=0
= a
1
(y, t) > 0 a|
x=l
= a
2
(y, t) > 0 y ∈ [0, h] t ∈ [0, T ]
b|
y=0
= b|
y=h
= 0 x ∈ [0, l] t ∈ [0, T ]
′
diva =
∂a
∂x
+
∂b
∂y
= 0
Q
R
Γ
1
a
1
ds =
R
Γ
2
a
2
ds
C
1,0
(Q) w : Q → R
Q ∂w ∂x ∂w ∂y
Ω
Γ
1
= {(x, y), x = 0, y ∈ (0, h)} Ω
Γ
2
= { (x, y), x = l, y ∈ (0, h)}
y = 0 y = h
diva = 0
′
÷àñòü ýíåðãèè, òî ýíåðãèÿ ìîæåò ëèøü óáûâàòü. Ïðåäïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â
ïðàâîé ÷àñòè (2.46) êàê ðàç è îïèñûâàþò òåðÿåìóþ çà ñ÷åò âûõîäà ÷àñòèö
ýíåðãèþ çà âðåìÿ t, òîãäà êàê ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå îïèñûâàåò òåðÿåìóþ
ýíåðãèþ çà ñ÷åò äåéñòâèÿ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé. Îòáðàñûâàÿ èõ, ìû ïîëó-
÷èëè âûøå àïðèîðíóþ îöåíêó (2.47), ñïðàâåäëèâóþ ïðè f = 0, êîòîðàÿ
ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ.
   Ïðè γ ≡ 0 çàêîí ñîõðàíåíèÿ (2.46) ïðèíèìàåò âèä
                                  Z t              Z t
                     2      2          2
            ku(·, t)kH = kϕkH + a     g (τ )dτ − a     u2(l, τ )dτ.
                                         0                 0

Äàííîå ñîîòíîøåíèå ñâÿçûâàåò çíà÷åíèÿ u â òî÷êàõ, ðàñïîëîæåííûõ ëèøü
íà ãðàíèöàõ ïðÿìîóãîëüíèêà Qt = (0 < x < l, 0 < τ < t). Ýòî îáúÿñíÿ-
åòñÿ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî óðàâíåíèå (2.31) èìååò äèâåðãåíòíûé âèä
(òàê êàê ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2.31) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâóìåðíóþ äè-
âåðãåíöèþ âåêòîðà (u, au)). Ñâîéñòâî äèâåðãåíòíîñòè èãðàåò âàæíóþ ðîëü
ïðè ïîñòðîåíèè ðàçíîñòíûõ ñõåì, àïïðîêñèìèðóþùèõ óðàâíåíèå ïåðåíî-
ñà [44℄, [2℄.
  2.4. Íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ ïå-
ðåíîñà â ïðÿìîóãîëüíèêå.        Ïóñòü Ω = (0 < x < l, 0 < y < h)  ïðÿìî-
óãîëüíèê â ïëîñêîñòè x, y . Â îáëàñòè Q = {(x, y, t), (x, y) ∈ Ω, t ∈ (0, T ]}
ðàññìîòðèì äâóìåðíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà
                    ∂u               ∂u    ∂u    ∂u
                       + a · gradu ≡    +a    +b    = f.                      (2.51)
                    ∂t               ∂t    ∂x    ∂y
Çäåñü a è b  çàäàííûå â Q êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè a = (a, b) äâè-
æóùåéñÿ æèäêîñòè, f  çàäàííàÿ â Q ïðàâàÿ ÷àñòü. Ôóíêöèè a è b áóäåì
ñ÷èòàòü óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèÿì:
 (i) a, b ∈ C 1,0(Q),
(ii) a|x=0 = a1 (y, t) > 0, a|x=l = a2 (y, t) > 0, y ∈ [0, h], t ∈ [0, T ];
       b|y=0 = b|y=h = 0, x ∈ [0, l], t ∈ [0, T ],
               ∂a    ∂b
(ii′ ) diva = ∂x        = 0 â Q, Γ1 a1 ds = Γ2 a2 ds.
                                 R             R
                  + ∂y

Çäåñü C 1,0 (Q) îáîçíà÷àåò ïðîñòðàíñòâî óíêöèé w : Q → R, íåïðåðûâíûõ
íà Q âìåñòå ñ ïðîèçâîäíûìè ∂w/∂x è ∂w/∂y .
   Óñëîâèÿ (ii) èçè÷åñêè îçíà÷àþò, ÷òî æèäêîñòü âòåêàåò â îáëàñòü Ω ñëå-
âà ÷åðåç ó÷àñòîê Γ1 = {(x, y), x = 0, y ∈ (0, h)}, à âûòåêàåò èç Ω ñïðàâà
÷åðåç ó÷àñòîê Γ2 = {(x, y), x = l, y ∈ (0, h)}, ïðè÷åì ãîðèçîíòàëüíûå ñòåí-
êè y = 0 è y = h ÿâëÿþòñÿ íåïðîíèöàåìûìè äëÿ æèäêîñòè. Ïåðâîå óñëî-
âèå diva = 0 â (ii′) îçíà÷àåò, ÷òî æèäêîñòü, â êîòîðîé ïðîèñõîäèò ïðîöåññ

                                         129

Страницы