Классические методы математической физики - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

y = y(τ)
y = y(x, t; τ)
τ y(x, t; τ)
x t τ t
y(τ) x, y
(y(x, t; τ), τ)
x, y, t
(x, t)
x, y
a
a
a
   Óñëîâèìñÿ î ñëåäóþùèõ îáîçíà÷åíèÿõ è òåðìèíîëîãèè. ×åðåç y = y(τ )
áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå âåêòîðíîãî îáûêíîâåííîãî äè-
åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2.53), ÷åðåç y = y(x, t; τ ) áóäåì îáîçíà÷àòü
ðåøåíèå çàäà÷è (2.53), (2.54). Õîðîøî èçâåñòíî (ñì. [51, ãë.7℄), ÷òî ïðè âû-
ïîëíåíèè óñëîâèé (i) êàæäàÿ èç ýòèõ äâóõ âåêòîð-óíêöèé ÿâëÿåòñÿ íåïðå-
ðûâíî äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé àðãóìåíòà τ , à âòîðàÿ  y(x, t; τ ),
ÿâëÿåòñÿ ê òîìó æå íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìîé óíêöèåé îò ïàðà-
ìåòðîâ x è t. Êîãäà τ ïðîáåãàåò íåêîòîðîå ìíîæåñòâî íà îñè t, òî÷êà
y(τ ) ïðîáåãàåò íåêîòîðóþ êðèâóþ â ïëîñêîñòè x, y (ýòó ïëîñêîñòü ïðè-
íÿòî íàçûâàòü àçîâîé ïëîñêîñòüþ), à ñîîòâåòñòâóþùàÿ òðåõìåðíàÿ òî÷-
êà (y(x, t; τ ), τ ) ïðîáåãàåò íåêîòîðóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ êðèâóþ â ïðî-
ñòðàíñòâå x, y, t. Ïîñëåäíþþ êðèâóþ, èìåþùóþ ñìûñë èíòåãðàëüíîé êðè-
âîé óðàâíåíèÿ (2.53), áóäåì íàçûâàòü õàðàêòåðèñòèêîé óðàâíåíèÿ (2.51),
à èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ çàäà÷è (2.53), (2.54) áóäåì íàçûâàòü õàðàêòåðè-
ñòèêîé óðàâíåíèÿ (2.51), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó (x, t).  ñâîþ î÷åðåäü,
ïåðâóþ êðèâóþ, ÿâëÿþùóþñÿ ïðîåêöèåé õàðàêòåðèñòèêè íà àçîâóþ ïëîñ-
êîñòü x, y , áóäåì íàçûâàòü àçîâîé òðàåêòîðèåé óðàâíåíèÿ (2.53). Ïîñëåä-
íåå íàçâàíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè ãèäðîäèíàìè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ïî-
ëÿ a êàê ïîëÿ ñêîðîñòåé äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè èìåííî óðàâíåíèå (2.53)
îïèñûâàåò òðàåêòîðèè, ò. å. êðèâûå, ïî êîòîðûì äâèæóòñÿ ÷àñòèöû æèä-
êîñòè â ïîëå ñêîðîñòåé a.
   Íàêîíåö, îòìåòèì, ÷òî ñ ó÷åòîì ãèäðîäèíàìè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè âåê-
òîðíîãî ïîëÿ a êàê ïîëÿ ñêîðîñòåé äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè âåêòîðíîå óðàâ-
íåíèå (2.53) ÷àñòî íàçûâàþò äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé, à ðàçäåë êóðñà òåî-
ðèè îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ãäå èçó÷àþòñÿ ñâîéñòâà
äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, íàçûâàåòñÿ òåîðèåé äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì.




              (à)                                          (á)
                                  èñ. 2.6


   Îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ
ñâîéñòâî ãëîáàëüíîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è (2.53), (2.54) ïðè âûïîëíåíèè

                                    131

Страницы