Классические методы математической физики - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

dU
x,t
dτ
= 0 ∀(x, t) ∈ Q.
u
u : Q → R
y(τ)
u(y, τ) = C,
y
u ∈ C
1
(Q)
Q u
Q
u
τ
u[y(τ), τ] ≡ C.
τ
∂u
∂τ
+ gradu ·
dy
dτ
= 0.
dy/dτ
∂u
∂τ
+ a[y(τ), τ] · gradu = 0.
y(τ)
(y, τ)
Q
C (y, τ)
(y, τ) ∈ Q
(y, τ) ∈ Q u
Q
âèä
                           dUx,t
                                 = 0 ∀(x, t) ∈ Q.
                            dτ
Ýòî óñëîâèå è îçíà÷àåò, ÷òî âñÿêîå ðåøåíèå u îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.55)
ïðèíèìàåò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ íà õàðàêòåðèñòèêàõ óðàâíåíèÿ (2.51), õîòÿ
è ðàçíûå äëÿ ðàçíûõ õàðàêòåðèñòèê.
   Ââåäåì åùå îäíî âàæíîå îïðåäåëåíèå èç òåîðèè îáûêíîâåííûõ äè-
åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: óíêöèÿ u : Q → R, íå ðàâíàÿ òîæäåñòâåííî
êîíñòàíòå, íàçûâàåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ (2.53), åñëè îíà îáðà-
ùàåòñÿ â êîíñòàíòó íà ëþáîì ðåøåíèè y(τ ) óðàâíåíèÿ (2.53). Â íåêîòîðûõ
ó÷åáíèêàõ ïîä ïåðâûì èíòåãðàëîì ïîíèìàþò ñàìî ñîîòíîøåíèå
                               u(y, τ ) = C,                        (2.57)
ñïðàâåäëèâîå íà ëþáîì ðåøåíèè y óðàâíåíèÿ (2.53). Èç òåîðèè îáûêíî-
âåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ñì., íàïðèìåð, [51, . 310℄, [54, ñ.
218℄) èçâåñòíî, ÷òî óíêöèÿ u ∈ C 1 (Q) ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì óðàâ-
íåíèÿ (2.53) â îáëàñòè Q òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.55) â Q. Ââèäó âàæíîñòè ýòîãî àêòà ïðèâåäåì åãî
ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî.
   Ïóñòü óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ (2.53). Òîãäà,
ïîäñòàâëÿÿ â (2.57) âìåñòî y êàêîå-ëèáî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.53), ïîëó-
÷àåì òîæäåñòâî îòíîñèòåëüíî τ âèäà
                             u[y(τ ), τ ] ≡ C.                      (2.58)
Äèåðåíöèðóÿ îáå ÷àñòè ïî τ , áóäåì èìåòü
                             ∂u               dy
                                + gradu ·        = 0.               (2.59)
                             ∂τ               dτ
Çàìåíÿÿ â (2.59) ïðîèçâîäíóþ dy/dτ ïðàâîé ÷àñòüþ óðàâíåíèÿ (2.53), ïî-
ëó÷èì
                        ∂u
                             + a[y(τ ), τ ] · gradu = 0.            (2.60)
                        ∂τ
   Â ðàâåíñòâå (2.60) y(τ ) ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.53).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â äàííîì òîæäåñòâå ïàðà (y, τ ) ïðîáåãàåò òî÷êè â îáëà-
ñòè Q, ÷åðåç êîòîðûå ïðîõîäèò èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ äàííîãî ðåøåíèÿ. Íî
ïîñêîëüêó ðåçóëüòàò äèåðåíöèðîâàíèÿ ðàâåíñòâà (2.58) íå çàâèñèò îò
C , òî ðàâåíñòâî (2.60) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ òî÷åê (y, τ ), ëåæàùèõ íà ëþáîé
èíòåãðàëüíîé êðèâîé óðàâíåíèÿ (2.53), ðàñïîëîæåííîé â ðàññìàòðèâàåìîé
îáëàñòè. Òàê êàê â ñèëó óñëîâèé (i) ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó (y, τ ) ∈ Q ïðî-
õîäèò èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ óðàâíåíèÿ (2.53), òî ðàâåíñòâî (2.60) âûïîëíÿ-
åòñÿ òîæäåñòâåííî îòíîñèòåëüíî (y, τ ) ∈ Q. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî u ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.55) â Q.

                                   133

Страницы