Классические методы математической физики - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
1
(x, t) = ϕ[y
0
(x, t)] +
Z
t
0
f[y(x, t; τ), τ]dτ
Q
1
,
u
2
(x, t) = g[y
0
(x, t), τ
0
(x, t)] +
Z
t
τ
0
(x,t)
f[y(x, t; τ), τ]dτ
Q
2
.
Σ
∗
∈ Q
Q Γ
1
t = 0
Σ
∗
x = at
Q
Γ
1
Σ
∗
Q Γ
1
t = 0 Q
Γ
2
t = T
u
i
∈ C
1
(Q
i
) i = 1 , 2 u
1
(x, t) ∈ Q
1
u
2
Q
2
u Q
u
1
u
2
Σ
∗
u(x, t) =
u
1
(x, t), (x, t) ∈ Q
1
,
u
2
(x, t), (x, t) ∈ Q
2
.
u
Q
u
1
u
2
Σ
∗
(x, t) ∈ Σ
∗
ϕ, g f
Γ
1
ϕ(0, y) = g(y, 0),
∂g
∂t
+ a
∂ϕ
0
∂x
+ b
∂ϕ
0
∂y
x=0,t=0
= f(0, y, 0) ∀y ∈ [0, b].
(i) (iii)
u
C
1
(Q)
u
1
u
2
u
                                          Z   t
               u1(x, t) = ϕ[y0(x, t)] +      f [y(x, t; τ ), τ ]dτ â Q1,           (2.62)
                                           0
                                         Z t
     u2 (x, t) = g[y0(x, t), τ0(x, t)] +        f [y(x, t; τ ), τ ]dτ â Q2.        (2.63)
                                          τ0 (x,t)

Îáîçíà÷èì ÷åðåç Σ∗ ∈ Q ìíîæåñòâî, îáðàçîâàííîå õàðàêòåðèñòèêàìè (èëè
òðàåêòîðèÿìè äâèæóùèõñÿ ÷àñòèö), âõîäÿùèìè â Q ÷åðåç ó÷àñòîê Γ1 ïðè
t = 0. Ôîðìóëû (2.61)(2.63) ÿâëÿþòñÿ äâóìåðíûìè àíàëîãàìè îðìóë
(2.34)(2.36), à ìíîæåñòâî Σ∗ ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíûì àíàëîãîì îñîáîé äëÿ
óðàâíåíèÿ (2.31) õàðàêòåðèñòèêè x = at. Îíî ñîñòîèò èç îñîáûõ õàðàêòå-
ðèñòèê óðàâíåíèÿ (2.51), âõîäÿùèõ â îáëàñòü Q ÷åðåç òî÷êè îñîáîãî ìíî-
æåñòâà Γ1 íîñèòåëÿ äàííûõ Êîøè çàäà÷è 3. åîìåòðè÷åñêè ìíîæåñòâî Σ∗
èçîáðàæåíî íà ðèñ. 2.6á äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà âñå îñîáûå õàðàêòåðèñòèêè, âõî-
äÿùèå â Q ÷åðåç ó÷àñòîê Γ1 â ìîìåíò âðåìåíè t = 0, âûõîäÿò èç Q ÷åðåç
ó÷àñòîê Γ2 â ìîìåíò t = T .
   Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðè âûïîë-
íåíèè óñëîâèé (i)(iii) ui ∈ C 1 (Qi ), i = 1, 2, ïðè÷åì óíêöèÿ u1 óäîâëåòâî-
ðÿåò óðàâíåíèþ (2.51) â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ Q1 è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ
â (2.52), à u2 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.51) âñþäó â Q2 è ãðàíè÷íîìó
óñëîâèþ â (2.52). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ u âî âñåé îáëàñòè Q ñêëåèì
óíêöèè u1 è u2 íà õàðàêòåðèñòèêàõ, ïðèíàäëåæàùèõ îñîáîìó ìíîæå-
ñòâó Σ∗ , ïîëàãàÿ                 
                                    u1 (x, t), (x, t) ∈ Q1,
                      u(x, t) =                                          (2.64)
                                    u2 (x, t), (x, t) ∈ Q2.
   ßñíî, ÷òî ââåäåííàÿ ñ ïîìîùüþ îðìóëû (2.64) óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ
íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìîé â Q òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîäîë-
æåíèÿ óíêöèé u1 è u2 íà Σ∗ íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìû è ñîâïàäàþò
âìåñòå ñ ïðîèçâîäíûìè â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ Σ∗ . Äëÿ ýòîãî, â ñâîþ
î÷åðåäü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èñõîäíûå äàííûå çàäà÷è 3, ò. å.
óíêöèè ϕ, g è f óäîâëåòâîðÿëè âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî
ïîðÿäêà óñëîâèÿì ñîãëàñîâàíèÿ â òî÷êàõ ó÷àñòêà Γ1 , èìåþùèì âèä
                      ∂g    ∂ϕ0    ∂ϕ0
 ϕ(0, y) = g(y, 0),      +a     +b                       = f (0, y, 0) ∀y ∈ [0, b]. (2.65)
                      ∂t    ∂x     ∂y          x=0,t=0

Ýòî ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ñëåäóþùåé ëåììû, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé ïðåäî-
ñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ.
   Ëåììà 2.4. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (i)(iii) è óñëîâèÿ ñîãëàñî-
âàíèÿ (2.65). Òîãäà óíêöèÿ u, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé (2.64), ïðèíàäëå-
æèò ïðîñòðàíñòâó C 1 (Q).
   Èç ëåììû 2.4 è ñâîéñòâ óíêöèé u1 , u2 âûòåêàåò, â ñâîþ î÷åðåäü, ÷òî
óíêöèÿ u, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé (2.64), óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (2.51)

                                         135

Страницы