Классические методы математической физики - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

kuk
U
≤ kϕk
H
+ kfk
F
+
Z
T
0
Z
Γ
1
a
1
g
2
dydt
1/2
,
γ ≥ 0 Q
u ∈ C
1
(Q)
u
ϕ, g, f
γ = 0
u ∈ C
1
(Q)
u
(ϕ, g, f)
Ω R
2
Ω
a
∂u
∂x
+ b
∂u
∂y
= 0,
a b t
a, b ∈ C
1
(Ω) a
2
(x, y) + b
2
(x, y) 6= 0 ∀(x, y) ∈ Ω
u
u : Ω → R
(x, y) ∈ Ω
a b Ω (a, b)
Ω (a, b)
dx
a(x, y)
=
dy
b(x, y)
.
(x, y) ∈ Ω
àññóæäàÿ äàëåå, êàê â ï. 2.3, ïðèõîäèì èç (2.68) ê ñëåäóþùåé îöåíêå
                                        Z      T   Z                   1/2
              kukU ≤ kϕkH + kf kF +                          a1 g 2 dydt     ,   (2.69)
                                            0           Γ1

ÿâëÿþùåéñÿ äâóìåðíûì àíàëîãîì îöåíêè (2.49). Èç ýòîé îöåíêè âûòåêàåò,
â ÷àñòíîñòè, åäèíñòâåííîñòü ðåãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 4 è íåïðåðûâíàÿ
çàâèñèìîñòü åãî îò èñõîäíûõ äàííûõ. Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëü-
òàò.
   Òåîðåìà 2.4. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ γ ≥ 0 â Q ðåãóëÿðíîå ðåøåíèå
u ∈ C 1(Q) çàäà÷è 4 åäèíñòâåííî, è äëÿ íåãî ñïðàâåäëèâà îöåíêà (2.69),
îçíà÷àþùàÿ íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ u îò èñõîäíûõ äàííûõ 
òðîéêè (ϕ, g, f ).
    ñëó÷àå, êîãäà γ = 0, çàäà÷à 4 ïåðåõîäèò â çàäà÷ó 3, ñóùåñòâîâàíèå
ðåãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ êîòîðîé âûòåêàåò èç òåîðåìû 2.3. Ñ ó÷åòîì ýòîãî
èìååì
   Ñëåäñòâèå 2.2. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé ëåììû 2.4 ðåãóëÿðíîå ðå-
øåíèå u ∈ C 1 (Q) çàäà÷è 3 ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî, è äëÿ íåãî âûïîë-
íÿåòñÿ îöåíêà (2.69), îçíà÷àþùàÿ íåïðåðûâíóþ çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ u
îò äàííûõ (ϕ, g, f ).
  2.5. Îäíîðîäíîå ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà ñ äâóìÿ ïå-
ðåìåííûìè.    Ïóñòü Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â ïëîñêîñòè R2 . àññìîò-
ðèì â Ω îäíîðîäíîå óðàâíåíèå
                                  ∂u    ∂u
                              a      +b    = 0,                                  (2.70)
                                  ∂x    ∂y
ÿâëÿþùååñÿ ñòàöèîíàðíûì àíàëîãîì óðàâíåíèÿ (2.51), ïðè÷åì áóäåì ñ÷è-
òàòü, ÷òî êîýèöèåíòû a è b íå çàâèñÿò îò âðåìåíè t. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü
íèæå, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
   (j) a, b ∈ C 1 (Ω), (jj) a2 (x, y) + b2 (x, y) 6= 0 ∀(x, y) ∈ Ω.
Ïîä ðåøåíèåì u óðàâíåíèÿ (2.70) áóäåì ïîíèìàòü íåïðåðûâíî äèåðåí-
öèðóåìóþ óíêöèþ u : Ω → R, óäîâëåòâîðÿþùóþ (2.70) â êàæäîé òî÷êå
(x, y) ∈ Ω.
   Ôóíêöèè a è b îïðåäåëÿþò â îáëàñòè Ω ïîëå íàïðàâëåíèé (a, b). Êðèâûå,
êàñàòåëüíûå â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè Ω ê ïîëþ (a, b), íàçûâàþòñÿ èíòå-
ãðàëüíûìè êðèâûìè äàííîãî ïîëÿ. Õîðîøî èçâåñòíî [54℄, ÷òî óêàçàííûå
êðèâûå îïðåäåëÿþòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé
                                      dx           dy
                                            =          .              (2.71)
                                    a(x, y) b(x, y)
Áóäåì íàçûâàòü èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè êðèâûìè èëè õàðàêòåðèñòèêà-
ìè óðàâíåíèÿ (2.70).  ñèëó óñëîâèé (j), (jj) ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó (x, y) ∈ Ω

                                      137

Страницы