Классические методы математической физики - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Σ
∗
Q
u
Q
u C
1
(Q)
u Q
Γ
1
t = 0
u
C
2
(Q)
γ ≥ 0
∂u
∂t
+ a · gradu + γu = f,
H
Ω
(u, v) = (u, v)
H
=
Z
Ω
u(x, y)v(x, y)dxdy, kuk
2
H
= (u, u)
H
.
U = C[0, T ; H] F = L
1
(0, T ; H)
(x, y, t) ∈ Q k · k
H
u
u C
1
(Q)
u Ω
′
d
dt
ku(·, t)k
2
+
Z
Γ
2
a
2
u
2
dy −
Z
Γ
1
a
1
g
2
dy + 2
Z
Ω
γu
2
dxdy = 2(f, u).
è â òî÷êàõ ìíîæåñòâà Σ∗ , à ñëåäîâàòåëüíî, è âñþäó â Q. Òàêèì îáðàçîì,
óíêöèÿ u â (2.64) íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìà è óäîâëåòâîðÿåò óðàâ-
íåíèþ (2.51) âñþäó â Q, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûì ðåøåíèåì çàäà÷è 3.
Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â âèäå òåîðåìû.
   Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ëåììû 2.4. Òîãäà ðåãóëÿð-
íîå ðåøåíèå u çàäà÷è 3 èç ïðîñòðàíñòâà C 1 (Q) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî
è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (2.62)(2.64).
   Çàìå÷àíèå 2.3. Ïåðâîå óñëîâèå â (2.65) ñëóæèò äëÿ îáåñïå÷åíèÿ íåïðå-

ðûâíîñòè ðåøåíèÿ u â Q è íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì ñîãëàñîâàíèÿ íóëåâîãî ïî-
ðÿäêà. Âòîðîå óñëîâèå â (2.65), îçíà÷àþùåå âûïîëíåíèå óðàâíåíèÿ (2.51)
â òî÷êàõ Γ1 ïðè t = 0, ñâÿçûâàåò ïåðâûå ïðîèçâîäíûå îò íà÷àëüíûõ è ãðà-
íè÷íûõ óíêöèé â óêàçàííûõ òî÷êàõ. Îíî íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì ñîãëàñîâà-
íèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ íóëåâîãî è ïåðâîãî
ïîðÿäêîâ è îðìóëó (2.64), ìîæíî ïîëó÷èòü óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ âòîðîãî
ïîðÿäêà, íåîáõîäèìûå äëÿ ïðèíàäëåæíîñòè ðåøåíèÿ u çàäà÷è 3 ïðîñòðàí-
ñòâó C 2 (Q), è, âîîáùå, óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ ëþáîãî ïîðÿäêà.
   Îòìåòèì äàëåå, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ äâóìåðíîé çàäà÷è 3 ñïðàâåäëèâû äâó-
ìåðíûå àíàëîãè îöåíîê (2.39) è ÷èñòîãî ïðèíöèïà ìàêñèìóìà (2.40), ïîëó-
÷åííûå â ï. 2.2 äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ (2.31). Áîëåå òîãî, äëÿ óðàâíå-
íèÿ (2.51), à òàêæå äëÿ óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ñ ïîãëîùåíèåì γ ≥ 0, èìåþ-
ùåãî âèä
                           ∂u
                              + a · gradu + γu = f,                 (2.66)
                           ∂t
ñïðàâåäëèâ äâóìåðíûé àíàëîã îöåíêè (2.49). Äëÿ åãî äîêàçàòåëüñòâà îáî-
çíà÷èì ÷åðåç H ïðåäãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ñîñòîÿùåå èç íåïðåðûâíûõ
â Ω óíêöèé ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì è íîðìîé, îïðåäåëÿåìûìè îð-
ìóëàìè
                          Z
       (u, v) = (u, v)H =    u(x, y)v(x, y)dxdy, kuk2H = (u, u)H .  (2.67)
                           Ω

Àíàëîãè÷íî îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ ââåäåì äâà íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâà
U = C[0, T ; H] è F = L1(0, T ; H), ñîñòîÿùèå èç óíêöèé, çàâèñÿùèõ îò
(x, y, t) ∈ Q, ñ íîðìàìè, îïðåäåëåííûìè â (2.43), ãäå k · kH îïðåäåëåíà â
(2.67).
    àññìîòðèì çàäà÷ó 4, çàêëþ÷àþùóþñÿ â íàõîæäåíèè ðåøåíèÿ u óðàâíe-
íèÿ (2.66), óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì (2.52). Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðåøåíèå
u çàäà÷è 4 ñóùåñòâóåò è ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó C 1(Q), óìíîæèì óðàâ-
íåíèå (2.66) íà u è ïðîèíòåãðèðóåì ïî îáëàñòè Ω. Ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ (ii),
(ii′), ïîëó÷èì
      d
                     Z              Z                Z
        ku(·, t)k2 +     a2 u2 dy −     a1 g 2 dy + 2 γu2dxdy = 2(f, u). (2.68)
     dt               Γ2             Γ1               Ω

                                      136

Страницы