Классические методы математической физики - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u : Q → R
Q
u
u
u ∈ C
1
(Q)
Q
u Q
u
Q
u
Q
f = 0 (x, t) ∈ Q y(x, t; τ)
(x
0
, 0) ∈ Ω
0
u ϕ(x
0
)
(y
0
, t
0
) ∈ Σ
1
g(y
0
, t
0
) u
(x, t) ∈ Q
u
Q f = 0
Q
u
1
u
2
u = u
2
−u
1
u Q
u Q
f 6= 0
Q
1
= {(x, t) ∈ Q : τ
0
(x, t) = 0, y
0
(x, t) 6∈ Γ
1
}, Q
2
= {(x, t) ∈ Q : τ
0
(x, t) > 0},
   Ïóñòü, îáðàòíî, óíêöèÿ u : Q → R ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
(2.55) â Q. Òîãäà âäîëü ëþáîé õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (2.55), ò. å. âäîëü
ëþáîé èíòåãðàëüíîé êðèâîé óðàâíåíèÿ (2.53), óíêöèÿ u ïðèíèìàåò ïîñòî-
ÿííîå çíà÷åíèå, ò. å. âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî (2.58). Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî
óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ îáùèì èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ (2.53).
   Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â âèäå ñëåäóþùåé ëåììû, ÿâ-
ëÿþùåéñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îòðàæåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè çàäà÷è ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è ñîîòâåòñòâóþùåé ñè-
ñòåìû îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî åãî õà-
ðàêòåðèñòèê.
   Ëåììà 2.3. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (i) è u ∈ C (Q)  çàäàííàÿ
                                                             1

â Q óíêöèÿ. Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:
   1) óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.55) â îáëàñòè Q;
   2) óíêöèÿ u ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íà ëþáîé õàðàêòåðè-
ñòèêå óðàâíåíèÿ (2.55), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç Q;
   3) óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ (2.53) â îáëàñòè
Q.
   Èç ëåììû 2.3 âûòåêàåò ñëåäóþùèé ýëåãàíòíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ðåøå-
íèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è Êîøè äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.51) (ïðè
f = 0). ×åðåç êàæäóþ òî÷êó (x, t) ∈ Q ïðîâîäèì õàðàêòåðèñòèêó y(x, t; τ ).
Åñëè îíà íà÷èíàåòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå (x0 , 0) ∈ Ω0 , òî âäîëü ýòîé õàðàê-
òåðèñòèêè ïîëàãàåì ðåøåíèå u ðàâíûì ϕ(x0 ). Åñëè îíà íà÷èíàåòñÿ â íåêî-
òîðîé òî÷êå (y0 , t0 ) ∈ Σ1 , òî âäîëü ýòîé õàðàêòåðèñòèêè ïîëàãàåì ðåøåíèå
ðàâíûì g(y0 , t0 ).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì óíêöèþ u, îïðåäåëåííóþ âî âñåõ
òî÷êàõ (x, t) ∈ Q. Îñòàåòñÿ òîëüêî íàéòè óñëîâèÿ íà èñõîäíûå äàííûå,
ïðè êîòîðûõ ïîñòðîåííàÿ òàêèì îáðàçîì óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâ-
íî  äèåðåíöèðóåìûì â Q ðåøåíèåì çàäà÷è 3 ïðè f = 0 è äîïóñêàåò
íåïðåðûâíî  äèåðåíöèðóåìîå ïðîäîëæåíèå íà çàìûêàíèå Q. Ê óñòàíîâ-
ëåíèþ óêàçàííûõ óñëîâèé ìû âåðíåìñÿ íåñêîëüêî ïîçæå, à ïîêà îòìåòèì,
÷òî íà îñíîâå ñâîéñòâà 2) ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.55) (ñì. ëåììó 2.3) ëåãêî
äîêàçûâàåòñÿ åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è 3. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðåä-
ïîëîæèòü, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ðåøåíèÿ u1 è u2 çàäà÷è 3, òî èõ ðàçíîñòü
u = u2 − u1 áóäåò óäîâëåòâîðÿòü îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (2.51) è îäíîðîä-
íûì óñëîâèÿì â (2.52).  òàêîì ñëó÷àå èç ñâîéñòâà ïîñòîÿíñòâà ðåøåíèÿ
îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.51) íà õàðàêòåðèñòèêàõ âûòåêàåò, ÷òî óíêöèÿ
u ðàâíà íóëþ âäîëü ëþáîé õàðàêòåðèñòèêè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç îáëàñòü Q.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî u ðàâíà íóëþ âñþäó â Q.
   Âåðíåìñÿ òåïåðü ê âîïðîñó î ïîñòðîåíèè ðåøåíèÿ çàäà÷è 3 â îáùåì
ñëó÷àå, êîãäà f 6= 0. àññóæäàÿ, êàê â ï. 2.2, ïîëîæèì

Q1 = {(x, t) ∈ Q : τ0 (x, t) = 0, y0(x, t) 6∈ Γ1 }, Q2 = {(x, t) ∈ Q : τ0 (x, t) > 0},
                                                                                (2.61)

                                         134

Страницы