Классические методы математической физики - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Q
(x, t) ∈ Q
Q
(x
′
, t
′
) ∈ Ω
0
∪Σ
1
Q
(x
′′
, t
′′
) ∈ Ω
T
∪Σ
2
Ω
T
= {(x, t) : x ∈ Ω, t = T }
Q
Ω
0
∪ Σ
1
τ ∈ [0, t] y(x, t; τ) 6∈ Γ
1
y(x, t; τ) ∈ Γ
1
τ
′
(x, t) (0 ≤ τ
′
≤ t)
τ
0
x t
τ
′
(x, t)
y
0
(x, t) = y(x, t; τ
0
(x, t)) (τ
0
(x, t), y
0
(x, t))
Ω
0
∪Σ
1
Q Q
(x, t) τ
0
(x, t)
y
0
(x, t) Ω
t x
τ
0
y
0
(x, t) ∈ Q
u
∂u
∂τ
+ a ·
u = 0
Q (y, τ) u
y τ U
τ x t
U(τ) = U
x,t
(τ) ≡ u[y(x, t; τ), τ] u
Q τ
t y(x, t; τ)
(x, t) U
u
dU
x,t
dτ
= ∇u[y(x, t; τ), τ ] ·
dy(x, t; τ)
dτ
+
∂u
∂τ
[y(x, t; τ ), τ] = a ·∇u +
∂u
∂τ
.
u
óñëîâèé (i), (ii). Ýòî ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî åå ðåøåíèå, î ëîêàëüíîì ñó-
ùåñòâîâàíèè êîòîðîãî áûëî ñêàçàíî âûøå, ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî, ïðè-
÷¼ì åäèíñòâåííûì îáðàçîì, âïëîòü äî ãðàíèö îáëàñòè Q. Ïðèìåíÿÿ ýòî
ñâîéñòâî ê õàðàêòåðèñòèêàì, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó
(x, t) ∈ Q ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà óðàâíåíèÿ (2.51). Óêà-
çàííàÿ õàðàêòåðèñòèêà íà÷èíàåòñÿ, ò. å. âõîäèò â îáëàñòü Q, â íåêîòîðîé
òî÷êå (x′, t′ ) ∈ Ω0 ∪ Σ1 è çàêàí÷èâàåòñÿ, ò. å. âûõîäèò èç îáëàñòè Q, â íåêî-
òîðîé òî÷êå (x′′, t′′ ) ∈ ΩT ∪ Σ2 . Çäåñü ΩT = {(x, t) : x ∈ Ω, t = T }  âåðõíåå
îñíîâàíèå ïàðàëëåëåïèïåäà Q.
    Ïîñêîëüêó êàæäàÿ õàðàêòåðèñòèêà íà÷èíàåòñÿ â òî÷êàõ Ω0 ∪ Σ1 , òî
âîçìîæíû äâà âàðèàíòà: ëèáî äëÿ âñåõ τ ∈ [0, t] y(x, t; τ ) 6∈ Γ1 , ëèáî
y(x, t; τ ) ∈ Γ1 â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè τ ′ (x, t) (0 ≤ τ ′ ≤ t). Îïðåäå-
ëèì óíêöèþ τ0 , çàâèñÿùóþ îò x è t, ñ÷èòàÿ, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå îíà ðàâ-
íà íóëþ, à âî âòîðîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò çíà÷åíèå τ ′ (x, t). Ïîëîæèì òàêæå
y0 (x, t) = y(x, t; τ0(x, t)). Î÷åâèäíî, (τ0(x, t), y0(x, t))  òî÷êà íà ó÷àñòêå
Ω0 ∪ Σ1 ãðàíèöû îáëàñòè Q, ÷åðåç êîòîðóþ â îáëàñòü Q âõîäèò õàðàêòåðè-
ñòèêà óðàâíåíèÿ (2.51), ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (x, t). Ôèçè÷åñêè τ0 (x, t) è
y0 (x, t) îáîçíà÷àþò âðåìÿ è ìåñòî ïîÿâëåíèÿ â Ω ÷àñòèöû æèäêîñòè, ïðîõî-
äÿùåé â ìîìåíò t ÷åðåç òî÷êó x. Èç òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì âûòåêàåò,
÷òî τ0 è y0 ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìûìè óíêöèÿìè òî÷åê
(x, t) ∈ Q.
    Ôóíäàìåíòàëüíûì ñâîéñòâîì õàðàêòåðèñòèê óðàâíåíèÿ (2.51) ÿâëÿåòñÿ
òîò àêò, ÷òî ðåøåíèå u îäíîðîäíîãî àíàëîãà
                              ∂u
                                 + a · gradu = 0                           (2.55)
                              ∂τ
óðàâíåíèÿ (2.51) ñîõðàíÿåòñÿ âäîëü ëþáîé õàðàêòåðèñòèêè. (Çäåñü äëÿ åäè-
íîîáðàçèÿ ñ óðàâíåíèåì (2.53) ìû îáîçíà÷àåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó îáëà-
ñòè Q ÷åðåç (y, τ ), ñ÷èòàÿ òåì ñàìûì, ÷òî óíêöèÿ u çàâèñèò îò ïåðå-
ìåííûõ y è τ .) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî àêòà ðàññìîòðèì óíêöèþ U
îäíîé ïåðåìåííîé τ , çàâèñÿùóþ îò x è t êàê îò ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿå-
ìóþ îðìóëîé U (τ ) = Ux,t (τ ) ≡ u[y(x, t; τ ), τ ]. Çäåñü u  ïðîèçâîëüíàÿ
íåïðåðûâíî-äèåðåíöèðóåìàÿ â Q óíêöèÿ. Ïðè èçìåíåíèè τ â îêðåñò-
íîñòè òî÷êè t òî÷êà y(x, t; τ ) ïðîáåãàåò õàðàêòåðèñòèêó óðàâíåíèÿ (2.51),
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (x, t). Ïîýòîìó óíêöèÿ U îïèñûâàåò ïîâåäåíèå
óíêöèè u âäîëü ýòîé õàðàêòåðèñòèêè. Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî äèåðåíöè-
ðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè è (2.53), èìååì
 dUx,t                         dy(x, t; τ ) ∂u                           ∂u
       = ∇u[y(x, t; τ ), τ ] ·             + [y(x, t; τ ), τ ] = a · ∇u + . (2.56)
  dτ                              dτ        ∂τ                           ∂τ
  Ïóñòü òåïåðü u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.55). Òîãäà
ïðàâàÿ ÷àñòü (2.56) îáðàùàåòñÿ â íóëü è, ñëåäîâàòåëüíî, (2.56) ïðèíèìàåò

                                       132

Страницы