Классические методы математической физики - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u ∈ C
1
(Ω)
Ω
u Ω
u
Ω
u Ω
(x
0
, y
0
) ∈ Ω C
1
(x
0
, y
0
) ∈ Ω a b
u
u u ∈ C
k
(Ω) a b ∈ C
k
(Ω)
k = 2, 3...
u
Ω ϕ ∈ C
1
˜u(x, y) = ϕ[u(x, y)], (x, y) ∈ Ω
ϕ
Ω
Γ
0
= {(x, y) ∈ Ω : x = ξ(s), y = η(s), s ∈ [s
1
, s
2
]}
Γ
0
u|
Γ
0
= U
0
(x, y), (x, y) ∈ Γ
0
.
u
u
0
(s) = U
0
[ξ(s), η(s)], s ∈ [s
1
, s
2
],
Γ
u
0
= {(x, y, u) ∈ R
3
: x = ξ(s), y = η(s), u = u
0
(s), s ∈ [s
1
, s
2
]}.
ξ η ∈ C
1
[s
1
, s
2
] U
0
∈ C
1
(Γ
0
) [ξ
′
(s)]
2
+ [η
′
(s)]
2
6= 0 ∀s ∈ [s
1
, s
2
]
   Ëåììà 2.5.    Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (j), (jj) è u ∈ C 1 (Ω)  çàäàí-
íàÿ â Ω óíêöèÿ. Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:
   1) óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.70) â îáëàñòè Ω;
   2) óíêöèÿ u ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íà ëþáîé õàðàêòåðè-
ñòèêå óðàâíåíèÿ (2.70), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç Ω;
   3) óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì ñèñòåìû (2.71) â Ω.
   Â ñèëó ëåììû 2.5 íàõîæäåíèå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2.70) ñâîäèòñÿ ê íà-
õîæäåíèþ ïåðâîãî èíòåãðàëà ñèñòåìû (2.71). Ïîñëåäíèé ïðè âûïîëíåíèè
óñëîâèé (j), (jj) ñóùåñòâóåò ïî êðàéíåé ìåðå â îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè
(x0, y0) ∈ Ω è ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó C 1. Îòñþäà ñëåäóåò ñóùåñòâî-
âàíèå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.70) â îêðåñòíîñòè ëþáîé òî÷êè
(x0, y0) ∈ Ω. Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ñ ðîñòîì ãëàäêîñòè óíêöèé a è b ðàñ-
òåò è ãëàäêîñòü èíòåãðàëà u ñèñòåìû (2.71), à ñëåäîâàòåëüíî, è ãëàäêîñòü
ðåøåíèÿ u óðàâíåíèÿ (2.70).  ÷àñòíîñòè, u ∈ C k (Ω), åñëè a è b ∈ C k (Ω),
k = 2, 3....
   Çàìå÷àíèå 2.4. Ïóñòü óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì ñè-
ñòåìû (2.71) â Ω. Èç ëåììû 2.5 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé óíêöèè ϕ ∈ C 1
óíêöèÿ
                       ũ(x, y) = ϕ[u(x, y)], (x, y) ∈ Ω              (2.74)
òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì ñèñòåìû (2.71), à ñëåäîâàòåëüíî, ðå-
øåíèåì óðàâíåíèÿ (2.70) Ïîñêîëüêó ϕ  ïðîèçâîëüíàÿ óíêöèÿ, òî ìîæíî
ñ÷èòàòü, ÷òî (2.74) îïèñûâàåò îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.70). Òàêèì îá-
ðàçîì, îðìóëà (2.74) ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì îðìóëû (2.5) îáùåãî ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ (2.3).
   Äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.70) ââåäåì â îáëà-
ñòè Ω ïðîñòóþ ãëàäêóþ êðèâóþ
                 Γ0 = {(x, y) ∈ Ω : x = ξ(s), y = η(s), s ∈ [s1 , s2]}                      (2.75)
è çàäàäèì ñëåäóþùåå óñëîâèå íà Γ0 :
                               u|Γ0 = U0(x, y), (x, y) ∈ Γ0 .                               (2.76)

àññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (2.70), çàêëþ÷àþùóþñÿ â íàõîæ-
äåíèè ðåøåíèÿ u óðàâíåíèÿ (2.70), óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ (2.76). Ïî-
ëàãàÿ
                  u0 (s) = U0 [ξ(s), η(s)], s ∈ [s1, s2],       (2.77)
ââåäåì ïðîñòðàíñòâåííóþ êðèâóþ
   Γu0 = {(x, y, u) ∈ R3 : x = ξ(s), y = η(s), u = u0(s), s ∈ [s1, s2 ]}.                   (2.78)
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
(jjj) ξ , η ∈ C 1 [s1 , s2 ], U0 ∈ C 1 (Γ0 ), [ξ ′(s)]2 + [η ′(s)]2 6= 0 ∀s ∈ [s1 , s2 ];

                                               139

Страницы