Классические методы математической физики - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

a[ξ(s), η(s)]η
′
(s) − b[ξ(s), η(s)]ξ
′
(s) 6= 0 ∀s ∈ [s
1
, s
2
]
Γ
0
a b t t
Γ
0
t = t
0
a > 0
Ω
Γ
0
Γ
t
Γ
′
Γ
′′
(x
′
, y
′
) (x
′′
, y
′′
) Γ
0
Γ t
′
t
′′
a Ω x
t
a(x, y) > 0 Ω Ω
t = t
0
Γ
0
Ω
Ω
0
Ω Γ
0
Γ
′
Γ
′′
Γ
0
Γ
Ω
0
Ω
Ω
0
Π
Γ
0
(x, y) ∈ Ω
0
˜y = ˜y(x, y; ˜x)
˜y(x) = y
a(x, y) > 0 Ω
0
Ω
0
(x
0
, y
0
) ∈ Γ
0
(x
0
, y
0
) ∈ Γ
0
Ω
0
x
0
= x
0
(x, y) y
0
= y
0
(x, y) x
0
y
0
Γ
0
Ω
0
(x, y) x
0
, y
0
∈ C
1
(Ω
0
)
(jv) a[ξ(s), η(s)]η ′(s) − b[ξ(s), η(s)]ξ ′(s) 6= 0 ∀s ∈ [s1 , s2 ].
Óñëîâèå (jv), ÿâëÿþùååñÿ àíàëîãîì ïîñëåäíåãî óñëîâèÿ â (i) â ï. 2.1, îçíà-
÷àåò, ÷òî êðèâàÿ Γ0 íèãäå íå êàñàåòñÿ õàðàêòåðèñòèê óðàâíåíèÿ (2.70), ò. å.
ïåðåñåêàåòñÿ ñ êàæäîé èç íèõ ïîä íåíóëåâûì óãëîì (ñì. ðèñ. 2.7).
   Ïîñêîëüêó óíêöèè a è b íå çàâèñÿò îò t, òî ïàðàìåòð t â (2.72) ìîæíî
çàäàòü ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîèçâîëüíîãî ñëàãàåìîãî. Óäîáíî çàäàòü åãî òàê,
÷òîáû òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ êàæäîé õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (2.70) ñ êðè-
âîé Γ0 îòâå÷àëà îäíîìó è òîìó æå çíà÷åíèþ t = t0 .
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a > 0 â
Ω.  òàêîì ñëó÷àå âñå õàðàê-
òåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (2.70), âû-
õîäÿùèå èç Γ0 , äîñòèãíóò ãðà-
íèöû Γ â íåêîòîðûå êîíå÷íûå
ìîìåíòû âðåìåíè t.  ÷àñòíî-
ñòè, õàðàêòåðèñòèêè Γ′ è Γ′′ ,
âûõîäÿùèå èç êðàéíèõ òî÷åê                         èñ. 2.7
(x′, y ′ ) è (x′′, y ′′ ) êðèâîé Γ0 , äî-
ñòèãíóò Γ â íåêîòîðûå ìîìåíòû t′ è t′′ . Ïðîùå âñåãî óáåäèòüñÿ â ýòîì ñ
ïîìîùüþ èçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè, ñîãëàñíî êîòîðîé ëþáàÿ õàðàêòåðè-
ñòèêà óðàâíåíèÿ (2.70) îïèñûâàåò ëèíèþ òîêà ÷àñòèöû æèäêîñòè, äâèæó-
ùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ a â îáëàñòè Ω. Ïîñêîëüêó êîîðäèíàòà x äâèæóùåéñÿ
÷àñòèöû ìîæåò ëèøü ðàñòè ñ ðîñòîì âðåìåíè t â ñèëó ïåðâîãî óðàâíåíèÿ
â (2.72) è óñëîâèÿ a(x, y) > 0 â Ω, òî ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åííîñòè îáëàñòè Ω
êàæäàÿ ÷àñòèöà, çàíèìàþùàÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò t = t0 ïîëîæåíèå íà Γ0 ,
äîñòèãíåò ãðàíèö îáëàñòè Ω çà êîíå÷íîå âðåìÿ.
   Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω0 ïîäîáëàñòü îáëàñòè Ω, îãðàíè÷åííóþ êðèâîé Γ0 ,
õàðàêòåðèñòèêàìè Γ′ è Γ′′ è ñîîòâåòñòâóþùèì ó÷àñòêîì Γ0 ãðàíèöû Γ (ñì.
ðèñ. 2.7). Áóäåì ñ÷èòàòü äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî Ω0 ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé îáëà-
ñòüþ. Ýòî çàâåäîìî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå, êîãäà èñõîäíàÿ îáëàñòü Ω îäíî-
ñâÿçíà. Âñïîìíèâ ââåäåííîå â ï. 2.1 ïîíÿòèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ïîëîñû
äëÿ óðàâíåíèÿ (2.3), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî îáëàñòü Ω0 èìååò ñìûñë õàðàê-
òåðèñòè÷åñêîé ïîëîñû ΠΓ0 äëÿ óðàâíåíèÿ (2.70). àññóæäàÿ, êàê â ï. 2.4,
ïðîâåäåì ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó (x, y) ∈ Ω0 õàðàêòåðèñòèêó ỹ = ỹ(x, y; x̃)
óðàâíåíèÿ (2.70), ò. å. èíòåãðàëüíóþ êðèâóþ óðàâíåíèÿ (2.73), óäîâëåòâî-
ðÿþùóþ óñëîâèþ ỹ(x) = y . Â ñèëó ñâîéñòâà åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ óðàâ-
íåíèÿ (2.73) è óñëîâèÿ a(x, y) > 0 â Ω0 óêàçàííàÿ õàðàêòåðèñòèêà âõîäèò â
îáëàñòü Ω0 ÷åðåç íåêîòîðóþ òî÷êó (x0 , y0 ) ∈ Γ0 è âûõîäèò ÷åðåç íåêîòîðóþ
òî÷êó (x0 , y 0 ) ∈ Γ0 . Òåì ñàìûì ìû îïðåäåëèëè â îáëàñòè Ω0 äâå óíêöèè:
x0 = x0(x, y) è y0 = y0(x, y). Îíè èìåþò ñìûñë êîîðäèíàò x0 è y0 òî÷êè íà
íà÷àëüíîé êðèâîé Γ0 , ÷åðåç êîòîðóþ â îáëàñòü Ω0 âõîäèò õàðàêòåðèñòèêà,
ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó (x, y).  ñèëó óñëîâèé (j) x0 , y0 ∈ C 1 (Ω0 ). Êðî-

                                           140

Страницы