Классические методы математической физики - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x
0
y
0
Ω
0
Ω
0
a
∂x
0
∂x
+ b
∂x
0
∂y
= 0, a
∂y
0
∂x
+ b
∂y
0
∂y
= 0
Ω
0
.
˜y
0
y
0
Γ
0
˜y
0
(s) = y
0
[ξ(s), η(s)] s ∈ [s
1
, s
2
]
y
0
ξ η ˜y
0
∈ C
1
[s
1
, s
2
]
d˜y
0
(s)
ds
≡
∂y
0
∂x
dξ
ds
+
∂y
0
∂y
dη
ds
6= 0
Γ
0
.
˜y
0
S
S[y
0
[ξ(s), η(s)] = s ∀s ∈ [s
1
, s
2
].
u : Ω
0
→ R
u(x, y) ≡ u
0
{S[y
0
(x, y)]},
y
0
u
a > 0 Ω
Ω Γ
0
Ω
a > 0 Ω Ω
0
Ω
Γ
0
Γ
′
Γ
′′
(x
′
, y
′
) (x
′′
, y
′′
) Γ
0
Ω
0
u ∈ C
1
(Ω
0
)
a, b ∈ C
k
(Ω)
Γ
0
∈ C
k
U
0
∈ C
k
(Γ
0
) k = 2, 3, ... u
C
k
(Ω
0
)
u : Ω → R
(x, y, u)
ìå òîãî, êàæäàÿ èç óíêöèé x0 è y0 ïîñòîÿííà íà ëþáîé õàðàêòåðèñòèêå
óðàâíåíèÿ (2.70), ðàñïîëîæåííîé â Ω0 , è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ â ñèëó
ëåììû 2.5 ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2.70) â Ω0 . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî
                     ∂x0    ∂x0        ∂y0    ∂y0
                 a       +b     = 0, a     +b     = 0 â Ω0 .                (2.79)
                     ∂x     ∂y         ∂x     ∂y
  Äàëåå ðàññóæäàåì ñëåäóþùèì îáðàçîì. àññìîòðèì ñóæåíèå ỹ0 óíê-
öèè y0 íà Γ0 , îïðåäåëÿåìîå ñîîòíîøåíèåì ỹ0 (s) = y0 [ξ(s), η(s)], s ∈ [s1 , s2 ].
Èç ñâîéñòâ óíêöèé y0 , ξ è η âûòåêàåò, ÷òî ỹ0 ∈ C 1 [s1 , s2 ]. Ïðåäïîëîæèì,
êðîìå òîãî, ÷òî
                                             
                   dỹ0 (s)     ∂y0 dξ ∂y0 dη
                            ≡         +         6= 0 íà Γ0 .              (2.80)
                     ds         ∂x ds   ∂y ds
Òîãäà ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ê ỹ0 óíêöèÿ S , ñ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ ñîîò-
íîøåíèå
                    S[y0[ξ(s), η(s)] = s ∀s ∈ [s1 , s2].         (2.81)
 òàêîì ñëó÷àå óíêöèÿ u : Ω0 → R, îïðåäåëÿåìàÿ îðìóëîé

                            u(x, y) ≡ u0 {S[y0(x, y)]},                     (2.82)

è ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (2.70), (2.76). Äåéñòâèòåëüíî,
â ñèëó çàìå÷àíèÿ 2.4 ïðàâàÿ ÷àñòü â (2.82) ÿâëÿåòñÿ, êàê è y0 , ðåøåíèåì
óðàâíåíèÿ (2.70). Êðîìå òîãî, èç (2.77) è (2.81) ñëåäóåò, ÷òî óíêöèÿ (2.82)
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Êîøè (2.76), à èç óñëîâèÿ ïîñòîÿíñòâà ðåøåíèÿ íà
õàðàêòåðèñòèêàõ âûòåêàåò, ÷òî u ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è
Êîøè (2.70), (2.76). Ïðîñòîé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ñîîòíîøåíèå (2.80)
âûïîëíÿåòñÿ ïðè a > 0 â Ω, åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (jv). Ñîðìóëèðóåì
ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò.
   Òåîðåìà 2.5 Ïóñòü Ω  îäíîñâÿçíàÿ ïëîñêàÿ îáëàñòü, Γ0  êðèâàÿ â
Ω, çàäàííàÿ ñîîòíîøåíèåì (2.75), è âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (j), (jjj), (jv),
ïðè÷åì a > 0 â Ω. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω0 ïîäîáëàñòü îáëàñòè Ω, îãðàíè÷åí-
íóþ êðèâîé Γ0 è õàðàêòåðèñòèêàìè Γ′ è Γ′′ , ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç êðàéíèå
òî÷êè (x′, y ′) è (x′′, y ′′ ) êðèâîé Γ0 (ñì. ðèñ. 2.7). Òîãäà â îáëàñòè Ω0 ðåãó-
ëÿðíîå ðåøåíèå u ∈ C 1 (Ω0 ) çàäà÷è Êîøè (2.70), (2.76) ñóùåñòâóåò, åäèí-
ñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ îðìóëîé (2.82). Åñëè, áîëåå òîãî, a, b ∈ C k (Ω),
Γ0 ∈ C k è U0 ∈ C k (Γ0), k = 2, 3, ..., òî ðåøåíèå u ïðèíàäëåæèò ïðî-
ñòðàíñòâó C k (Ω0 ).
    ðàèê ðåøåíèÿ u : Ω → R óðàâíåíèÿ (2.70) ãåîìåòðè÷åñêè ïðåäñòàâ-
ëÿåò ñîáîé ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå (x, y, u). Ýòó ïîâåðõíîñòü áóäåì íà-
çûâàòü èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ óðàâíåíèÿ (2.70). Âûÿñíèì ñòðóêòóðó
ëþáîé èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè è îäíîâðåìåííî óêàæåì ïðîñòîé ñïîñîá

                                       141

Страницы