Классические методы математической физики - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

a
∂u
∂x
+ b
∂u
∂y
= f,
a b
f (x, y) x
Ω ⊂ R
2
u
a b u f u
a(x, y)
∂u
∂x
+ b(x, y)
∂u
∂y
+ γ(x, y)u = f(x, y)
a, b f x, y u
D ⊂ Ω×R
1
u
a, b, f ∈ C
1
(D) a
2
(x, y, u) + b
2
(x, y, u) 6= 0 ∀(x, y, u) ∈ D
a, b f x, y, u
(a, b, f) D (a, b, f)
dx
a(x, y, u)
=
dy
b(x, y, u)
=
du
f(x, y, u)
.
x, y t
dx
dt
= a(x, y, u),
dy
dt
= b(x, y, u),
du
dt
= f(x, y, u),
t
îáùåå óñëîâèå (jj).
  2.6. Êâàçèëèíåéíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ñ äâóìÿ ïåðå-
ìåííûìè.     àññìîòðèì â ýòîì ïóíêòå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå 1-ãî ïî-
ðÿäêà
                              ∂u     ∂u
                                 a+b    = f,                       (2.83)
                              ∂x     ∂y
ïðè÷åì áóäåì ñ÷èòàòü äëÿ îáùíîñòè, ÷òî êîýèöèåíòû a, b è ïðàâàÿ ÷àñòü
f óðàâíåíèÿ (2.83) çàâèñÿò êàê îò êîîðäèíàò (x, y) òî÷êè x, èçìåíÿþùåéñÿ
â íåêîòîðîé îáëàñòè Ω ⊂ R2 , òàê è îò ðåøåíèÿ u. Òàêîå óðàâíåíèå íàçûâà-
þò êâàçèëèíåéíûì óðàâíåíèåì 1-ãî ïîðÿäêà ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Åñëè
æå a è b íå çàâèñÿò îò u, à f ëèíåéíî çàâèñèò îò u, òî (2.83) íàçûâàåòñÿ
ëèíåéíûì óðàâíåíèåì. Îíî èìååò âèä ñòàöèîíàðíîãî àíàëîãà
                           ∂u           ∂u
                 a(x, y)      + b(x, y)    + γ(x, y)u = f (x, y)     (2.84)
                           ∂x           ∂y
íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà ñ ïîãëîùåíèåì (2.66).
   Òîò àêò, ÷òî óíêöèè a, b è f çàâèñÿò îò òðåõ ïåðåìåííûõ x, y è u,
îçíà÷àåò, ÷òî îíè îïðåäåëåíû â íåêîòîðîé òðåõìåðíîé îáëàñòè D ⊂ Ω×R1u .
Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü íèæå, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
   (i) a, b, f ∈ C 1 (D) è a2 (x, y, u) + b2 (x, y, u) 6= 0 ∀(x, y, u) ∈ D.
   Ôóíêöèè a, b è f îïðåäåëÿþò â ïðîñòðàíñòâå x, y, u ïîëå íàïðàâëåíèé
(a, b, f ). Êðèâûå, êàñàòåëüíûå â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè D ê ïîëþ (a, b, f ),
íàçûâàþòñÿ èíòåãðàëüíûìè êðèâûìè ëèáî àçîâûìè òðàåêòîðèÿìè äàí-
íîãî ïîëÿ. Óêàçàííûå êðèâûå îïðåäåëÿþòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ ñèñòåìû îáûê-
íîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
                         dx         dy          du
                                =          =            .            (2.85)
                      a(x, y, u) b(x, y, u) f (x, y, u)
Áóäåì íàçûâàòü èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè êðèâûìè èëè õàðàêòåðèñòèêà-
ìè óðàâíåíèÿ (2.83). Ïðîåêöèè õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êðèâûõ íà ïëîñêîñòü
x, y áóäåì íàçûâàòü ïðîåêöèÿìè õàðàêòåðèñòèê. Åñëè ââåñòè ïàðàìåòð t,
èçìåíÿþùèéñÿ âäîëü õàðàêòåðèñòè÷åñêîé êðèâîé, òî äèåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ (2.85) õàðàêòåðèñòèê ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
             dx               dy               du
                = a(x, y, u),    = b(x, y, u),    = f (x, y, u),     (2.86)
             dt               dt               dt
îïðåäåëÿþùåì õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèÿ (2.83) â ïàðàìåòðè÷åñêîé îð-
ìå.
   Õîòÿ ïàðàìåòð t ÿâíî íå âõîäèò â ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå (2.83), ìû
áóäåì èñïîëüçîâàòü, êàê è â ï. 2.5, ãèäðîäèíàìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ
óðàâíåíèÿ (2.83). Ñîãëàñíî åé óðàâíåíèå (2.83) îïèñûâàåò ñòàöèîíàðíûé

                                        143

Страницы