Классические методы математической физики - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

x = x(t) y = y(t) u = u[x(t), y(t)]
dx
dt
= a[x, y, u(x, y)],
dy
dt
= b[x, y, u( x, y)].
du/dt =
f
x, y u t = t
0
Ω
Γ
u
0
Γ
0
∈ C
1
ξ η ∈ C
1
[s
1
, s
2
] U
0
∈ C
1
(Γ
0
) [ξ
′
(s)]
2
+ [η
′
(s)]
2
6= 0 ∀s ∈
[s
1
, s
2
]
(ξ(s), η(s), u
0
(s)) ∈ D ∀s ∈ [s
1
, s
2
]
Γ
u
0
(x
0
, y
0
, u
0
) Γ
u
0
Γ
u
0
x = X(s, t), y = Y (s, t), u = U(s, t),
s
s t
X Y U
dX
dt
= a(X, Y, U) ,
dY
dt
= b(X, Y, U),
X(s, t
0
) = ξ(s), Y (s, t
0
) = η(s), U(s, t
0
) = u
0
(s), s ∈ [s
1
, s
2
].
(2.83) ïîðîæäàåòñÿ íåêîòîðûì îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ñåìåéñòâîì õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêèõ êðèâûõ.  ñàìîì äåëå íà ëþáîé èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíî-
ñòè (2.87) óðàâíåíèÿ (2.83) ìîæíî çàäàòü îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî
êðèâûõ x = x(t), y = y(t), u = u[x(t), y(t)] ñ ïîìîùüþ äèåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé
                  dx                     dy
                     = a[x, y, u(x, y)],    = b[x, y, u(x, y)].    (2.88)
                  dt                     dt
Âäîëü êàæäîé òàêîé êðèâîé óðàâíåíèå (2.83) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ du/dt =
f . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííîå îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî óäîâëåòâîðÿ-
åò ñîîòíîøåíèÿì (2.86) è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîñòîèò èç õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ
êðèâûõ. Òàê êàê â ñèëó óñëîâèé (i) ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2.86) îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè x, y è u ïðè t = t0 , ìû ïîëó÷àåì
ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: ëþáàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ êðèâàÿ, èìåþùàÿ îá-
ùóþ òî÷êó ñ èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ, öåëèêîì ëåæèò íà ýòîé ïî-
âåðõíîñòè.
    Äëÿ âûäåëåíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.83) ðàññìîòðèì çà-
äà÷ó Êîøè. ×òîáû åå ñîðìóëèðîâàòü, ââåäåì â Ω ãëàäêóþ êðèâóþ (2.75)
è çàäàäèì óñëîâèå Êîøè (2.76). Ââåäåì äàëåå ïðîñòðàíñòâåííóþ êðèâóþ
Γu0 ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (2.77), (2.78) è ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ
óñëîâèÿ:
(ii) Γ0 ∈ C 1 (ò. å. ξ , η ∈ C 1 [s1 , s2 ]), U0 ∈ C 1 (Γ0 ), [ξ ′ (s)]2 + [η ′(s)]2 6= 0 ∀s ∈
     [s1, s2], (ξ(s), η(s), u0(s)) ∈ D ∀s ∈ [s1, s2].
 ñèëó óñëîâèé (ii) çàäà÷à Êîøè (2.83), (2.76) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å íà-
õîæäåíèÿ èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè óðàâíåíèÿ (2.83), ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
êðèâóþ Γu0 .
     Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (2.83), (2.76) ïðîâåäåì ÷åðåç
êàæäóþ òî÷êó (x0 , y0 , u0 ) êðèâîé Γu0 õàðàêòåðèñòèêó, ò. å. èíòåãðàëüíóþ
êðèâóþ ñèñòåìû (2.85). Â ñèëó ïðåäïîëîæåíèé (i) ýòî ìîæíî ñäåëàòü, ïðè-
÷åì åäèíñòâåííûì îáðàçîì â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè êðèâîé
Γu0 . Ìû ïîëó÷èì ñåìåéñòâî õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êðèâûõ
                       x = X(s, t), y = Y (s, t), u = U (s, t),                       (2.89)

çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà s, ïðè ýòîì âñå óíêöèè â (2.89) èìåþò íåïðåðûâ-
íûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî s è t.
   Ïî ïîñòðîåíèþ óíêöèè X , Y è U óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì
                       dX                 dY
                           = a(X, Y, U ),    = b(X, Y, U ),
                        dt                dt
         X(s, t0 ) = ξ(s), Y (s, t0) = η(s), U (s, t0) = u0 (s), s ∈ [s1, s2].


                                            145

Страницы