Классические методы математической физики - 147 стр.

(2.83) äàííûå Êîøè âëèÿþò íà ñòðóêòóðó ðåøåíèÿ êàê â ïîïåðå÷íîì, òàê
è ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèÿõ.
    àññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà ∆ ≡ 0 âñþäó íà Γ0 .  ñèëó ïðåäû-
äóùèõ ðàññóæäåíèé äëÿ òîãî, ÷òîáû çàäà÷à Êîøè (2.83), (2.76) èìåëà ðå-
øåíèå, êðèâàÿ Γu0 íåîáõîäèìî äîëæíà áûòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîé êðèâîé.
 ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à Êîøè èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé, ïîñêîëüêó
÷åðåç êàæäóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ êðèâóþ ïðîõîäèò áåñêîíå÷íî ìíîãî èí-
òåãðàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòèêè ÿâëÿþòñÿ ëèíè-
ÿìè ïåðåñå÷åíèÿ èíòåãðàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé  ëèíèÿìè âåòâëåíèÿ, òîãäà
êàê ÷åðåç íåõàðàêòåðèñòè÷åñêóþ êðèâóþ íå ìîæåò ïðîõîäèòü áîëåå îäíîé
èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè.
    Ñîðìóëèðóåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â âèäå òåîðåìû
    Òåîðåìà 2.6. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (i), (ii) è (2.90). Òîãäà
â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 êðèâîé Γ0 ðåøåíèå u ∈ C 1 çàäà÷è
Êîøè (2.83), (2.76) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Åñëè æå ∆ = 0 íà Γ0 ,
òî çàäà÷à Êîøè (2.83), (2.76) èìååò ðåøåíèå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êî-
ãäà ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ Γu0 ÿâëÿåòñÿ õàðàêòå-
ðèñòèêîé.  ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé çàäà÷è
Êîøè (2.83), (2.76).
    Çàìå÷àíèå 2.6. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî òåîðåìà 2.6 â îòëè÷èå îò òåîðåìû
2.5 íîñèò ëîêàëüíûé õàðàêòåð, ïîñêîëüêó îíà óòâåðæäàåò ñóùåñòâîâàíèå
ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (2.83), (2.76) ëèøü â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 êðèâîé
Γ0 . Ìîæíî ïîêàçàòü ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ íà óíêöèè
a, b, f è êðèâóþ Γu0 , ÷òî óêàçàííîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò â îêðåñòíîñòè íå
òîëüêî òî÷êè x0 , íî è âñåé êðèâîé Γ0 . Îá ýòîì, à òàêæå î äðóãèõ ñâîé-
ñòâàõ ðåøåíèé êâàçèëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé 1-ãî ïîðÿäêà, êàê
ñ äâóìÿ, òàê è ñ n íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè, ìîæíî ïðî÷èòàòü â [21, ñ.
4053℄, [48, ãë. 1℄, [54, ãë. 8℄.




                                  147