Классические методы математической физики - 148 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

Ω ⊂ R
n
n
X
i,j=1
a
ij
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
+
n
X
i=1
b
i
∂u
∂x
i
+ cu = f(x
1
, ..., x
n
).
x
1
, ..., x
n
ξ
1
, ..., ξ
n
ξ
k
=
n
X
i=1
c
ki
x
i
, k = 1, 2, ..., n.
|c
ki
| = det((c
ki
))
∂u
∂x
i
=
n
X
k=1
c
ki
∂u
∂ξ
k
,
∂
2
u
∂x
i
∂x
j
=
n
X
k,l=1
c
ki
c
lj
∂
2
u
∂ξ
k
∂ξ
l
.
n
X
k,l=1
a
kl
∂
2
u
∂ξ
k
∂ξ
l
+
n
X
k=1
b
k
∂u
∂ξ
k
+ cu = f
1
(ξ
1
, ..., ξ
n
).
a
kl
=
n
X
i,j=1
a
ij
c
ki
c
lj
,
b
k
=
n
X
i=1
b
i
c
ki
.
u
   Ÿ3. Ïðèâåäåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó óðàâíåíèÿ
                  âòîðîãî ïîðÿäêà

  3.1. Ïðèâåäåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïî-
ðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè.      àññìîòðèì â ïðîèçâîëüíîé
îáëàñòè Ω ⊂ R ëèíåéíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êî-
               n

ýèöèåíòàìè
              n                          n
              X          ∂ 2u       X ∂u
                    aij           +     bi      + cu = f (x1, ..., xn).       (3.1)
              i,j=1
                        ∂x i ∂x j   i=1
                                           ∂x i


Ïîêàæåì â ýòîì ïóíêòå, ÷òî ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé çàìåíû íåçàâèñèìûõ ïå-
ðåìåííûõ óðàâíåíèå (3.1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê áîëåå ïðîñòîìó (êàíîíè-
÷åñêîìó) âèäó, íå ñîäåðæàùåìó ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà,
à â ñëó÷àå ãèïåðáîëè÷åñêîãî ëèáî ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà è ïðîèçâîäíûõ 1-ãî
ïîðÿäêà.
     Ñ ýòîé öåëüþ ââåäåì âìåñòî x1 , ..., xn íîâûå íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå
ξ1 , ..., ξn ïðè ïîìîùè ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
                                 n
                                 X
                          ξk =           ckixi , k = 1, 2, ..., n.            (3.2)
                                  i=1

Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå (3.2) íåâûðîæäåíî, ò. å. ÷òî îïðå-
äåëèòåëü |cki | = det((cki)) íå ðàâåí íóëþ. Ïðîèçâîäíûå ïî ñòàðûì ïåðå-
ìåííûì âûðàçÿòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ïî íîâûì ïåðåìåííûì ñëåäóþùèìè
îðìóëàìè:
                    n                  n
              ∂u    X     ∂u   ∂ 2u    X          ∂ 2u
                  =   cki    ,       =   cki clj         .                    (3.3)
              ∂xi         ∂ξk ∂xi∂xj             ∂ξk ∂ξl
                        k=1                             k,l=1

Ïîäñòàâèâ (3.3) â óðàâíåíèå (3.1), ïîëó÷èì
              n                    n
              X           ∂ 2u     X    ∂u
                     akl         +   bk     + cu = f1(ξ1 , ..., ξn).          (3.4)
                         ∂ξk ∂ξl        ∂ξk
             k,l=1                       k=1

Çäåñü, â ÷àñòíîñòè,
                                n
                                X                            n
                                                             X
                        akl =           aij cki clj , bk =         bi cki .   (3.5)
                                i,j=1                        i=1

  Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî îðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ (3.5) êîýèöèåíòîâ
ïðè âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ îò óíêöèè u ïðè çàìåíå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåí-

                                               148

Страницы