Классические методы математической физики - 146 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

∆(s, t) = X
t
(s, t)Y
s
(s, t) − Y
t
(s, t)X
s
(s, t) = aY
s
(s, t) − bX
s
(s, t).
Γ
0
∆(s, t
0
) ≡ a[ξ(s), η(s), u
0
(s)]Y
s
(s, t
0
)−b[ξ(s), η(s), u
0
(s)]X
s
(s, t
0
) 6= 0 ∀s ∈ [s
1
, s
2
].
Γ
u
0
x, y
x
0
∈ Γ
0
s t
s t x y
u x y
u(x, y) = U[s(x, y), t(x, y)].
u
du
dt
=
∂u
∂x
dx
dt
+
∂u
∂y
dy
dt
= a
∂u
∂x
+ b
∂u
∂y
.
du/dt = f u
x
0
Γ
0
u
Γ
u
0
Γ
u
0
a b
Ñîñòàâèì óíêöèîíàëüíûé îïðåäåëèòåëü

      ∆(s, t) = Xt (s, t)Ys(s, t) − Yt (s, t)Xs(s, t) = aYs (s, t) − bXs (s, t).
Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî îí íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íà êðèâîé Γ0 , ò. å. ÷òî
âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå

∆(s, t0) ≡ a[ξ(s), η(s), u0(s)]Ys(s, t0)−b[ξ(s), η(s), u0(s)]Xs(s, t0) 6= 0 ∀s ∈ [s1 , s2].
                                                                              (2.90)
Óñëîâèå (2.90) îçíà÷àåò, ÷òî â ëþáîé òî÷êå êðèâîé Γ0 êàñàòåëüíîå è õà-
                                                             u

ðàêòåðèñòè÷åñêîå íàïðàâëåíèÿ èìåþò ðàçëè÷íûå ïðîåêöèè íà ïëîñêîñòü
x, y .
   Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (2.90) ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ â (2.89) ìîæíî
ëîêàëüíî, ò. å. â îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè x0 ∈ Γ0 , ðàçðåøèòü îòíîñè-
òåëüíî s è t.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì äâå íåïðåðûâíî  äèåðåíöèðóåìûå
óíêöèè s è t îò ïåðåìåííûõ x è y . Ïîäñòàâëÿÿ èõ â ïîñëåäíåå ñîîòíî-
øåíèå â (2.89), ïîëó÷èì óíêöèþ u ïåðåìåííûõ x è y , äåéñòâóþùóþ ïî
îðìóëå
                          u(x, y) = U [s(x, y), t(x, y)].                     (2.91)
  Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî òàê ïîñòðîåííàÿ óíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðå-
øåíèåì ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è Êîøè. Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ ïðàâèëî
äèåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé óíêöèè è (2.86), èìååì
                       du ∂u dx ∂u dy      ∂u   ∂u
                          =      +      =a    +b .                                 (2.92)
                       dt   ∂x dt ∂y dt    ∂x   ∂y
Íî du/dt = f . Îòñþäà è (2.92) ñëåäóåò, ÷òî óíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåò óðàâ-
íåíèþ (2.83) ëîêàëüíî, ò. å. â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 êðèâîé Γ0 .
Òîò àêò, ÷òî u óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (2.76), âûòåêàåò èç ïî-
ñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ. Íàêîíåö, åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè âûòå-
êàåò èç òîãî àêòà, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ êðèâàÿ, èìåþùàÿ îäíó îáùóþ
òî÷êó ñ èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ, öåëèêîì ëåæèò íà ýòîé ïîâåðõíîñòè.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ èíòåãðàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç
êðèâóþ Γu0 , öåëèêîì ñîäåðæèò ñåìåéñòâî õàðàêòåðèñòèê, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç
Γu0 , è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîâïàäàåò ñ ïîñòðîåííîé èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ.
     Îïÿòü îòìåòèì, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü çàäà÷è Êîøè (2.83), (2.86)
ñøèâàåòñÿ èç õàðàêòåðèñòèê óðàâíåíèÿ (2.83). Íî åñëè â ñëó÷àå ëèíåéíî-
ãî óðàâíåíèÿ (2.70) óêàçàííûå õàðàêòåðèñòèêè îïðåäåëÿþòñÿ ëèøü êîý-
èöèåíòàìè a è b óðàâíåíèÿ (2.70) è íå çàâèñÿò îò ðåøåíèÿ, òî â ñëó÷àå
íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ åãî õàðàêòåðèñòèêè çàâèñÿò òàêæå è îò ðåøåíèÿ,
òî åñòü ÿâëÿþòñÿ ðàçíûìè äëÿ ðàçíûõ ðåøåíèé. Ïîýòîìó, åñëè äëÿ ëèíåé-
íîãî óðàâíåíèÿ (2.70) äàííûå Êîøè (2.76) âëèÿþò ëèøü íà ïîïåðå÷íóþ
ñòðóêòóðó èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè, òî â ñëó÷àå íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ

                                         146

Страницы