Классические методы математической физики - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

u
Ω a x y
u t
x y
a
x, y
x, y, u x, y
u
a b
u u
f = 0
u
u = C C
u
u : Ω → R
(x, y) ∈ Ω u : Ω → R
(x, y, u)
F (x, y, u) ≡ u(x, y) − u = 0.
F (x, y, u) = 0
(F
x
, F
y
, F
u
) = (
∂u
∂x
,
∂u
∂y
, −1)
C
1
ïðîöåññ ïåðåíîñà íåêîòîðîé âåëè÷èíû (ñóáñòàíöèè) u â ñðåäå, äâèæóùåéñÿ
â îáëàñòè Ω ñî ñêîðîñòüþ a, çàâèñÿùåé êàê îò x, y , òàê è ñàìîé âåëè÷èíû
u. Ïðè òàêîé èíòåðïðåòàöèè t èìååò ñìûñë âðåìåíè, òîãäà êàê ïðîåêöèè
õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êðèâûõ íà ïëîñêîñòü x, y îïèñûâàþò ëèíèè òîêà âåê-
òîðíîãî ïîëÿ a.
   Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â îòëè÷èå îò ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.70),
õàðàêòåðèñòèêàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïëîñêèå êðèâûå, ðàñïîëîæåííûå â
ïëîñêîñòè x, y , õàðàêòåðèñòèêàìè íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (2.83) ÿâëÿþò-
ñÿ ñóùåñòâåííî ïðîñòðàíñòâåííûå êðèâûå, ðàñïîëîæåííûå â ïðîñòðàíñòâå
x, y, u. Óêàçàííûå õàðàêòåðèñòèêè, êàê è èõ ïðîåêöèè íà ïëîñêîñòü x, y ,
çàâèñÿò îò ðåøåíèÿ u, ò. å. îíè ÿâëÿþòñÿ ðàçíûìè äëÿ ðàçíûõ ðåøåíèé.
 ýòîì ñîñòîèò ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå õàðàêòåðèñòèê íåëèíåéíîãî íåîäíî-
ðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2.83) îò õàðàêòåðèñòèê ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâ-
íåíèÿ (2.70).  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà êîýèöèåíòû a è b íå çàâèñÿò îò
ðåøåíèÿ u, ïðîåêöèè õàðàêòåðèñòèê òàêæå íå çàâèñÿò îò u è ñîâïàäàþò
ñ õàðàêòåðèñòèêàìè óðàâíåíèÿ (2.70). Åñëè ê òîìó æå f = 0, òî èç òðå-
òüåãî óðàâíåíèÿ (2.86) ñëåäóåò, ÷òî íà õàðàêòåðèñòèêàõ óðàâíåíèÿ (2.83)
ðåøåíèå u ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ, õîòÿ è ðàçíûå â îáùåì ñëó÷àå
äëÿ ðàçíûõ õàðàêòåðèñòèê. Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå õàðàêòåðèñòèêè óðàâ-
íåíèÿ (2.83) ÿâëÿþòñÿ ïëîñêèìè â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè ðàñïîëîæåíû íà
ïëîñêîñòÿõ u = C , ãäå C  êîíñòàíòà, ðàçíàÿ äëÿ ðàçíûõ õàðàêòåðèñòèê.
   Ïîä ðåøåíèåì u óðàâíåíèÿ (2.83) áóäåì ïîíèìàòü íåïðåðûâíî äèå-
ðåíöèðóåìóþ óíêöèþ u : Ω → R, óäîâëåòâîðÿþùóþ (2.83) â êàæäîé òî÷-
êå (x, y) ∈ Ω. ðàèê ðåøåíèÿ u : Ω → R óðàâíåíèÿ (2.83) ãåîìåòðè÷åñêè
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå (x, y, u). Ýòó ïîâåðõíîñòü
áóäåì íàçûâàòü èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ óðàâíåíèÿ (2.83). Çàïèøåì
óðàâíåíèå èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè óðàâíåíèÿ (2.83) â âèäå
                        F (x, y, u) ≡ u(x, y) − u = 0.                  (2.87)
   Êàê èçâåñòíî, âåêòîð íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè F (x, y, u) = 0 ñîâïàäàåò
                                              ∂u ∂u
ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì (Fx , Fy , Fu ) = ( ∂x , ∂y , −1). Ïîýòîìó óðàâíåíèå
(2.83) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå ÷òî èíîå, êàê óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè
íîðìàëè ê èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñ íàïðàâëåíèåì ïîëÿ. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî â êàæäîé òî÷êå èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòè íàïðàâëåíèå, îïðåäåëÿåìîå
óêàçàííûì âûøå ïîëåì íàïðàâëåíèé, íàõîäèòñÿ â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè
ê ïîâåðõíîñòè. Ïîýòîìó ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïðîèíòåãðèðîâàòü
óðàâíåíèå (2.83)  çíà÷èò íàéòè òàêèå ïîâåðõíîñòè, êàñàòåëüíûå ïëîñêî-
ñòè ê êîòîðûì â êàæäîé òî÷êå êàñàþòñÿ ïîëÿ íàïðàâëåíèé. Îòñþäà ñëå-
äóåò âûâîä, ÷òî ëþáàÿ ãëàäêàÿ (êëàññà C 1 ) ïîâåðõíîñòü, ñîñòàâëåííàÿ èç
îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ êðèâûõ, ÿâëÿåòñÿ
èíòåãðàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ óðàâíåíèÿ (2.83).
   Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå. Ëþáàÿ èíòåãðàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü óðàâíåíèÿ

                                     144

Страницы